Чаплыгин школа 1: Персональный сайт МБОУ СШ №1

м. М. Управление управлением управлением человеком. )

Динамический системный анализ моделей FLRW с модифицированным газом Чаплыгина

• Список журналов
• Научные отчеты
• PMC7854687

науч. респ. 2021 г.; 11: 2750.

Опубликовано в сети 2 февраля 2021 г. doi: 10.1038/s41598-020-80396-w

^и

Информация об авторе Примечания к статье Информация об авторских правах и лицензии Отказ от ответственности

системные методы. В качестве уравнения состояния примем p=(γ-1)µ-Aµα, где µ — плотность энергии вещества, p — давление, α — параметр, который может принимать значения 0<α≤1, а также А и γ – положительные константы. Рисуем пространства состояний и анализируем природу сингулярности в начале, а также судьбу Вселенной в далеком будущем. В частности, мы обращаемся к вопросу о том, существует ли решение, устойчивое для всех случаев.

Тематические термины: Космология, Темная энергия и темная материя, Ранняя Вселенная, Общая теория относительности и гравитация

Это исследование посвящено эволюции пространственно-однородных космологических моделей, включающих космологическую постоянную. Прежде всего чрезвычайно трудно и даже невозможно найти решение системы, состоящей из нелинейных, связанных n уравнений в частных производных. Единственное, что можно сделать, это использовать либо методы возмущений, либо методы численного решения. Однако есть еще один метод, который позволяет определить некоторые критические свойства решений, не зная точного решения системы уравнений. При таком подходе к системе дифференциальных уравнений; вводится динамическая система путем обезразмеривания переменных, а также переопределения переменной дифференцирования, чтобы охватить все IR, а затем применяется теория динамических систем (DST), которая была введена Пуанкаре в конце девятнадцатого века ^{1 – 3} . Хотя он значительно улучшился, DST все еще остается сырой теорией. Его недостатки составляют сегодня интенсивную область исследований. Метод, называемый качественным анализом, привел многих ученых к работе над этой темой ^{3 , 4} .

Поскольку уравнения поля общей теории относительности относятся к упомянутому выше типу, они образуют сложную систему уравнений. Несмотря на то, что можно уменьшить количество уравнений или переменных, предполагая такие свойства пространства-времени, как сферическая симметрия, однородность и изотропность, найти решение по-прежнему непросто. Это также имеет место в области космологии. Хотя предположения об однородности и изотропии, которые чрезвычайно ограничивают пространство-время, приводят к тому, что уравнения космологической эволюции становятся линейными и второго порядка, аналитические решения обрабатываются в моделях Фридмана-Лемэтра-Робертсона-Уокера (FLRW) только для некоторых конкретных случаев. ^{5 , 6} .

DST впервые был применен к уравнениям ограничений и эволюции Коллинзом в 1971 году ⁷ . Собственно, DST как раз и отвечает космологическому запросу. Как уже известно, многие наблюдательные данные, такие как подсчет галактик и измерения космического микроволнового фонового излучения, приводят к предположению, что Вселенная однородна и изотропна. Это обеспечивает основу для широкого использования моделей FLRW. Таким образом, описание следующих двух вселенных имеет большое значение для эволюции Вселенной: природа сингулярности в начале и судьба Вселенной в далеком будущем.

В литературе есть много исследований о применении ТЛЧ в космологии ^{8 – 14} . Обычный подход состоит в том, чтобы предположить идеально жидкий источник материи с p=(γ-1)µ в качестве уравнения состояния, но недавно газ Чаплыгина с p=-Aµ в качестве уравнения состояния был введен в качестве кандидата для единой модели темной энергии ¹⁵ . Позже это было обобщено на обобщенный газ Чаплыгина с p=-Aµα в виде уравнения состояния, где 0<α≤1 ^{16 – 18} . Позднее это уравнение состояния было изменено на p=Bμ-Aμα, где B>0 и 0<α≤1 ^{19 , 20} . Этот называется модифицированным газом Чаплыгина.

Коупленд и др. ²¹ подробно рассмотрел некоторые подходы, используемые для объяснения ускорения Вселенной, и представил некоторые модели темной энергии. Бахамонд и др. ²² изучал применение динамической системы в космологии, уделяя особое внимание ускоренному расширению Вселенной. Цзин и др. ²³ изучил динамический аттрактор модели модифицированного газа Чаплыгина и обнаружил, что между баротропным фоновым флюидом и модифицированным газом Чаплыгина нет взаимодействия, а модифицированный газ Чаплыгина будет вести себя подобно ΛCDM в далеком будущем. Ли и др. ²⁴ изучали модифицированную модель газа Чаплыгина, взаимодействующую с холодной темной материей. Бхадра и Дебнат ²⁵ изучали взаимодействующую модифицированную газовую модель Чаплыгина, используя методы динамической системы. Фанг и др. ²⁶ рассмотрел потенциальный параметр Γ(λ) и провел трехмерный анализ квинтэссенции скалярного поля.

В данной работе в качестве уравнения состояния используется модифицированный газ Чаплыгина с p=(γ-1)µ-Aµα, где γ – параметр, находящийся в интервале 0≤γ≤2, µ – плотность материи-энергии, p – давление, α – параметр, который может принимать значения 0<α≤1, а также A – положительная постоянная. Понятно, что при γ=1 восстанавливается обобщенный газ Чаплыгина. Если также α=1, то он сводится к чистому газу Чаплыгина, а A=0 восстанавливает уравнение состояния идеальной жидкости ^{15 , 27 , 28} . Мы также включаем в наше исследование неотрицательную космологическую постоянную. Таким образом, мы получаем трехмерное пространство состояний, в котором существует смесь идеальной жидкости, обобщенного газа Чаплыгина и космологической постоянной.

Схема документа следующая. В разделе «Методы» мы показываем, как получается динамическая система. В разделе «Результаты» с помощью уравнения Фридмана и условия слабой энергии мы получаем ограничения пространств состояний; найти точки равновесия, в которых все производные равны нулю; получить собственные значения, используя линеаризованную матрицу Якоби, а также построить трехмерное полное пространство состояний. Мы заканчиваем некоторыми выводами в разделе «Обсуждение».

Модели FLRW являются пространственно однородными и изотропными моделями и представлены следующей метрикой в ​​сопутствующей системе координат (t,r,θ,ψ).

ds2=-dt2+l2(t)[dr2+fk2(r)(dθ2+sin2(θ)dψ2)]

1

Эта метрика, называемая метрикой Робертсона-Уокера (RW), не зависит от уравнений поля . Функция fk(r), зависящая от параметра k, определяется следующим образом.

fk(r)=sinrk=+1rk=0sinhrk=-1

2

В соответствии с этим; Вселенная эллиптическая, если k=+1, евклидова, если k=0, и гиперболическая, если k=-1. t и l ( t ) называются коэффициентами масштабирования космического времени и расстояния соответственно.

Определяя скаляр Хаббла как H=l˙/l, уравнения поля и уравнения движения принимают следующий вид: ²⁹

3p+µ6+13Λ

4

µ˙=-3H(µ+p)

5

Здесь уравнения ( ³ – ⁵ ) – уравнение Фридмана, уравнение Райчаудхури и уравнение сохранения энергии соответственно, где 3R – три кривизны поверхностей симметрии, q — параметр замедления, μ — плотность энергии, p — давление, Λ — космологическая постоянная, а точка обозначает производную по космическому времени.

Мы используем формулу. ⁶ как уравнение состояния.

p=(γ-1)μ-Aμα

6

Чтобы сделать переменные безразмерными, необходимо нормировать их на подходящую переменную. Эта подходящая переменная может быть определена с помощью уравнения. ( ³ ).

Плотность материи-энергии μ неотрицательна из-за условия слабой энергии и 3R≤0, если k=0 или k=-1. Если Λ также неотрицательно Λ≥0, член h3 становится больше других членов, поэтому он становится доминирующим членом.

Следовательно, переменные можно обезразмерить, разделив их на степени H , если H≠0 . В соответствии с этим для k=0,-1 и Λ≥0 можно определить следующие безразмерные переменные где Ω, ΩΛ, K , ΩA и P — плотность вещества, плотность Λ, кривизна, плотность газа Чаплыгина и параметры давления, соответственно безразмерные.

Ω=μ3h3,ΩΛ=Λ3h3,K=-3R6h3,ΩA=Aα+13h3,P=p3h3≡(γ-1)Ω-ΩAα+1Ωα

7

Учитывая эти безразмерные переменные, а также определяя безразмерную переменной времени как dτ=H(t)dt, мы получаем следующие уравнения эволюции и связи, а также уравнение определения q.

H′=-1+qH

8

10

ΩA′=2(1+q)ΩA

11

q=12(Ω+3(γ-1)Ω-ΩAα+1Ωα)-2ΩΛ

12

K+Ω+ΩΛ=1

13

Здесь ′ обозначает производную по τ.

Если k=0,+1, доминирующим членом становится D=h3+3R. Таким образом, в этом случае мы используем D, а не H, чтобы определить безразмерные переменные следующим образом, где Q — безразмерный параметр разложения.

Q=HD,Ω=µ3D2,ΩΛ=Λ3D2,K=-3R6D2,ΩA=Aα+13D2,P=p3D2≡(γ-1)Ω-ΩAα+1Ωα

14

Если ввести временную переменную при dτ=D(t)dt получаем следующие уравнения эволюции и связи, где ′ обозначает производную по τ.

D′=-32γΩ-ΩAα+1ΩαQD

15

Q′=(Q2-1)32γΩ-ΩAα+1Ωα-1

16

Ω′=3Q(Ω-1)γΩ-ΩAα+1Ωα

17

ωa ′ = 3Qωaγω-ωaα+1ωα

18

ω+ωλ = 1

19

Q2-K = 1

20

для K = 0, Craise, Sake с H h h h h h h h h h h h h h h n. уравнения распадаются, мы получаем трехмерную редуцированную динамическую систему для Ω, ΩΛ и ΩA, которые даны в уравнениях. ( ⁹ – ¹¹ ). Учитывая слабое энергетическое условие (Ω+P≥0) и неравенство Λ≥0, а также уравнение связи ¹³ , получаем следующие условия.

0≤Ω,0≤ΩΛ,0≤Ω+ΩΛ≤1,ΩA≤γα+1Ω

21

Таким образом, пространство состояний трехмерно и компактно. Матрица Якоби для этого случая принимает следующий вид: )Ωα(3γ-2)ΩΛ+3ΩΛΩAα+1αΩα+1(3γ-2)Ω-4ΩΛ-3ΩAα+1Ωα+2-3ΩΛΩAα(α+1)Ωα(3γ-2)ΩA+3ΩAα+2αΩα+1-2ΩA (3γ-2)Ω-2ΩΛ-3ΩAα+1(2+α)Ωα+2

22

Для случая k=0,+1 уравнение D′ разделяется, и мы получаем трехмерную редуцированную динамическую систему для Q , Ω и ΩA, которые приведены в уравнениях. ( ¹⁶ – ¹⁸ ). Учитывая слабое энергетическое условие (Ω+P≥0) и неравенство Λ≥0, а также уравнение связи ²⁰ , получаем следующие условия.:

0≤Ω≤1,-1≤Q≤1,ΩA≤ γα+1Ω

23

Это пространство состояний также является трехмерным и компактным. Матрица Якоби для этого случая принимает следующий вид: Ω-1)-3ΩAα+1(Ω-1)Ωα3Qγ(2Ω-1)-3QΩAα+1(Ω+α-Ωα)Ωα+1-3QΩAα(Ω-1)(α+1)Ωα3ΩΩAγ-3ΩAα+2Ωα3QΩA (γ+ΩAα+1αΩα+1)3Q(γΩ-(2+α)ΩAα+1Ωα)

24

Эти системы уравнений кажутся сингулярными для вакуумных растворов, но видно, что Ω=0 только при A=0. В этом случае, когда газ Чаплыгина отсутствует, уравнение состояния принимает вид ²⁵

p=(γ-1)μ

25

Следовательно, системы уравнений для подмногообразия A=0 становятся такими, как в уравнениях. ( ²⁶ – ³⁰ ) и уравнения. ( ³¹ – ³⁵ ) для случаев k=0,-1 и k=0,+1 соответственно. Они дают те же пространства состояний, которые были построены Голиафом и Эллисом для совершенного источника текучей материи 9.1213 ¹⁴ .

Ω′=(2q-(3γ-2))Ω

26

ΩΛ′=2(1+q)ΩΛ

27

ΩA′=0

28(γ=

910 -2)Ω-2ΩΛ)

29

K+Ω+ΩΛ=1

30

Q′=(Q2-1)32γΩ-1

31

Ω′=3Q(Ω-1)γ

32

ΩA′=0

33

Ω+ΩΛ=1

34

Q2-K=1

35

включает в себя как сужение, так и расширение k=1

пространство состояний для k=0,-1 зависит от знака H. Комбинируя одно сжимающееся и одно расширяющееся пространства состояний случая k=0,-1 с пространством состояний случая k=0,+1 на подмногообразии k=0, мы получаем полную динамическую систему, которая является трехмерной и показана на рис. а также . ось z соответствует ΩA для всего пространства состояний. На области k=0,+1 (средняя) вертикальная и горизонтальная оси соответствуют Ω и Q соответственно. На области k=0,-1 (треугольные части с обеих сторон) линии M-F и M-dS соответствуют осям Ω и ΩΛ соответственно. Пределы пространства состояний, определяемые уравнениями. ( ²¹ и  ²³ ) для случаев k=0,-1 и k=0,+1 соответственно.

Открыть в отдельном окне

Пространство состояний для α=1 и γ>23. Здесь точками обозначены решения системы; F, M, dS, E, CH и CD представляют решение Flat FL (Ω=1, ΩΛ=0, ΩA=0,k=0), решение Милна (Ω=0, ΩΛ=0, ΩA=0,k= -1), решение де Ситтера(Ω=0,ΩΛ=1,ΩA=0,k=0), кривая статического решения Эйнштейна (H=0,H′=0), решение газа Чаплыгина(Ω=1,ΩΛ= 0,ΩA=γα+1,k=0) и линии решения Чаплыгина-де Ситтера (Ω=Ω,ΩΛ=1-Ω,ΩA=γα+1Ω,k=0) соответственно. ось z соответствует ΩA для всего пространства состояний. На области k=+1 (средняя) вертикальная и горизонтальная оси соответствуют Ω и Q соответственно. На области k=-1 (треугольные части с обеих сторон) линии M-F и M-dS соответствуют осям Ω и ΩΛ соответственно. Правая и левая части пространства состояний представляют расширяющуюся и сжимающуюся вселенную соответственно. Нижние индексы у равновесий относятся к знаку H там. Линии идут от красного к черному. (MATLAB версия R2019b).

Открыть в отдельном окне

Пространство состояний для α=1 и γ<23. Здесь точками обозначены решения системы; F, M, dS, CH и CD представляют решение Flat FL (Ω=1, ΩΛ=0, ΩA=0,k=0), решение Милна (Ω=0, ΩΛ=0, ΩA=0,k=-1) ), решение де Ситтера (Ω=0, ΩΛ=1, ΩA=0,k=0), решение Чаплыгина по газу (Ω=1, ΩΛ=0, ΩA=γα+1,k=0) и решение Чаплыгина-де Ситтера линия решения (Ω=Ω,ΩΛ=1-Ω,ΩA=γα+1Ω,k=0) соответственно. ось z соответствует ΩA для всего пространства состояний. На области k=+1 (средняя) вертикальная и горизонтальная оси соответствуют Ω и Q соответственно. На области k=-1 (треугольные части с обеих сторон) линии M-F и M-dS соответствуют осям Ω и ΩΛ соответственно. Правая и левая части пространства состояний представляют расширяющуюся и сжимающуюся вселенную соответственно. Нижние индексы у равновесий относятся к знаку H там. Линии идут от красного к черному. (MATLAB версия R2019b).

Как видно на рис. и , динамическая система ограничена инвариантными подмногообразиями ΩA=0 (снизу), ΩΛ=0 (сзади) и ΩA=γα+1Ω (спереди). k=0 инвариантное подмногообразие лежит между пересечением пространств состояний k=0,+1 и k=0,-1. Пространство состояний имеет различную структуру в зависимости от значения γ. Поскольку значение α только изменяет положение статических решений Эйнштейна, но не меняет поведение системы, мы даем только случай α=1.

Динамическая система имеет ряд решений, которые приведены в таблицах  и где собственные значения определяются матрицами якобиана ( ²² ) и ( ²⁴ ). За исключением E (кривая статического решения Эйнштейна), которая существует для γ> 23, и M (решение Милна), все решения находятся на плоском подмногообразии. Решения без давления, которые мы называем линией CD (решение Чаплыгина-де Ситтера), находятся на пересечении плоского подмногообразия и подмногообразия без давления ΩA=γα+1Ω. CH(газовый раствор Чаплыгина), где Ω и ΩA имеют свои максимальные значения, а также dS(раствор де Ситтера), где ΩΛ имеет максимальное значение, лежат на границах этой линии решения. Космологические следствия этих равновесий приведены в таблице.

Таблица 1

Свойства точек равновесия для k = 0, -1.

Open in a отдельное окно

Таблица 2

Свойства точек равновесия при k = 0,+1. Здесь ξ=(γΩα+1-23Ωα)1α+1 и Σ=(3γ+3αγ-2α/Ω+1) .

	(Q,Ω,ΩA)		Собственные значения			Устойчивость
			λ1	λ2	λ3	γ> 2/3	γ <2/3
E	(0, ω, ξ)	E	(0, ω, ξ)	E	(0, ω, ξ)	E	(0, ½
	E		(0, ½)		E		(0, ω
–		–
(0,Ω,ξ)	H<0	0	Σ	-Σ	–	–
F	(1, 1 , 0)	H>0	3γ-2	3γ	3γ	Источник	Седло
	(-1,1,0)	H <0	2-3γ	-3γ	-3γ	СЛОВА	3333330	0						0		-3γ	. ,γα+1Ω)	H>0	-2	0	-3γ(α+1)	–	–
(-12α9,	) 0	2	0	3γ(α+1)	–	–

Открыть в отдельном окне

Таблица 3

Космологические последствия равновесий.

Open in a separate window

Пространство состояний для γ>23 показано на рис. , а также . При k=0,-1 и H>0 будущим аттрактором является линия равновесия CD. Вселенные, в которых ΩΛ и ΩA равны нулю, сначала эволюционируют в модель Милна из F (плоское решение Фридмана), а затем расширяются до компакт-дисковой вселенной. Другие вселенные в этой части пространства состояний расширяются от F и развиваются непосредственно до модели CD. Область обращения времени возникает при H<0.

Открыть в отдельном окне

Подмногообразия на границах пространства состояний для α=1 и γ>23. Здесь точками обозначены решения системы; F, M, dS, E, CH и CD представляют решение Flat FL (Ω=1, ΩΛ=0, ΩA=0,k=0), решение Милна (Ω=0, ΩΛ=0, ΩA=0,k= -1), решение де Ситтера(Ω=0,ΩΛ=1,ΩA=0,k=0), статическое решение Эйнштейна (H=0,H′=0), решение газа Чаплыгина(Ω=1,ΩΛ=0 ,ΩA=γα+1,k=0) и линии решения Чаплыгина-де Ситтера (Ω=Ω,ΩΛ=1-Ω,ΩA=γα+1Ω,k=0) соответственно. Линии идут от красного к черному. (MATLAB версии R2019б).

Открыть в отдельном окне

Плоский подмногообразие. Ни γ, ни α не меняют его структуру. Здесь точками обозначены решения системы; F, dS, CH и CD представляют решение Flat FL (Ω=1, ΩΛ=0, ΩA=0,k=0), решение де Ситтера (Ω=0, ΩΛ=1, ΩA=0,k=0), Газовое решение Чаплыгина(Ω=1,ΩΛ=0,ΩA=γα+1,k=0) и линия решения Чаплыгина-де Ситтера (Ω=Ω,ΩΛ=1-Ω,ΩA=γα+1Ω,k=0) , соответственно. Линии идут от красного к черному. (MATLAB версия R2019b).

Для k=1 и H>0 модели, которые являются прошлыми асимптотиками к F и начинаются с достаточно малых (ΩΛ+ΩA), начинают сжиматься после некоторого расширения и коллапсируют до большого сжатия при F, в то время как будущий аттрактор для моделей с большими достаточно (ΩΛ+ΩA) является CD-вселенной. При H<0 модели, которые начинаются с достаточно большого (ΩΛ+ΩA), переходят в область H>0 и расширяются обратно к своим начальным условиям, в то время как вселенные с достаточно малым (ΩΛ+ΩA) в будущем асимптотичны к F. Существуют вселенные, которые прошлые асимптотики, а также будущие асимптотики статической модели Эйнштейна.

Как видно на рис. , а при γ<23 структура меняется. Исчезают статические решения Эйнштейна и изменяется устойчивость равновесий Милна и плоского равновесия Фридмана.

Открыть в отдельном окне

Подмногообразия на границах пространства состояний для α=1 и γ<23. Здесь точками обозначены решения системы; F, M, dS, CH и CD представляют решение Flat FL (Ω=1, ΩΛ=0, ΩA=0,k=0), решение Милна (Ω=0, ΩΛ=0, ΩA=0,k=-1) ), решение де Ситтера (Ω=0, ΩΛ=1, ΩA=0,k=0), решение Чаплыгина по газу (Ω=1, ΩΛ=0, ΩA=γα+1,k=0) и решение Чаплыгина-де Ситтера линия решения (Ω=Ω,ΩΛ=1-Ω,ΩA=γα+1Ω,k=0) соответственно. Линии идут от красного к черному. (MATLAB версии R2019б).

Для k=0,-1 и H>0 вселенная Милна является источником, а вселенные, прошедшие асимптотию к ней, сначала расширяются до F, а затем эволюционируют до CD-вселенной, если ΩA и ΩΛ равны нулю. В противном случае они расширяются непосредственно до модели компакт-диска. Когда H<0, возникает область обратного хода времени.

При k=+1 вселенные асимптотичны в прошлом по отношению к сжимающимся версиям равновесия, а также являются асимптотиками в будущем по отношению к расширяющимся версиям.

Для случая γ>23 прошлым аттрактором для сжимающихся вселенных являются плоские модели без давления (линия решения CD). Исходя из этой линии решения, если сжатие начинается с достаточного количества (ΩΛ + ΩA) и положительной кривизны, Вселенная эволюционирует в расширяющуюся модель компакт-диска. В противном случае она сжимается до плоской модели, в которой доминирует материя (Плоская вселенная Фридмана), либо непосредственно, либо сначала эволюционируя в статическую вселенную Милна или Эйнштейна. Из этой плоской модели, в которой доминирует материя, она может прийти в норму и снова развиться в сжимающуюся плоскую модель Фридмана или в модель CD в зависимости от начальных условий возмущения. Таким образом, если Вселенная начинается с малой (ΩΛ+ΩA) и положительной кривизны, а также если конфигурация Вселенной не меняется в сингулярности, Вселенная может прыгать туда-сюда между сжимающимися и расширяющимися плоскими фридмановскими вселенными. В противном случае он прыгает туда-сюда между плоскими вселенными без давления (линия CD-решения) либо напрямую, либо сначала эволюционирует в другие модели.

Для случая γ<23 Вселенная расширяется до плоской модели без давления из плоских вселенных Фридмана или Милна, если она начинается с положительного параметра Хаббла. Поскольку на этой линии решения нет направления, Вселенная может эволюционировать в любую модель между моделями CH и dS, если параметр Хаббла положителен. Если он отскочит отсюда и начнет сокращаться, для него есть три возможных направления. Если она нарушена до положительной кривизны, сжатие замедляется, и Вселенная начинает расширяться без сингулярности и эволюционирует обратно к расширяющейся модели компакт-диска. Если она начинается с нулевой кривизны, Вселенная сжимается до плоской модели Фридмана, и из этой сингулярности она может эволюционировать в расширяющуюся плоскую вселенную Фридмана или вернуться к расширяющейся модели компакт-диска или сжаться во вселенную Милна. От сингулярности Милна она расширяется до компакт-диска. Таким образом, у нас есть цикл, начинающийся с плоской модели без давления и заканчивающийся ею. В обоих случаях у нас есть динамическая вселенная, и для нее нет конечного состояния, пока мы не накладываем никаких ограничений на H.

Мы рассмотрели эволюцию моделей FLRW с модифицированным газом Чаплыгина, где уравнение состояния имеет вид p=(γ-1)µ-Aµα. Видно, что значение α оказывает незначительное влияние на структуру пространства состояний, а также не влияет на устойчивость равновесий. Для γ<23 есть 2 точки равновесия: F и M, а также линия равновесия CD, где ΩA=γα+1Ω. Когда γ>23, появляется дополнительная кривая равновесия, которая соответствует статической вселенной Эйнштейна. Если мы не наложим ограничение на значение H, устойчивого решения не будет, и Вселенная может непрерывно развиваться от одной точки равновесия к другой, но если мы предположим, что постоянная Хаббла положительна, она эволюционирует к плоской модели без давления. Мы планируем применить этот метод к моделям Бьянки в будущих статьях.

Е.Г. и А.О.Ю. написал основной текст рукописи, А.О.Ю. также подготовили рисунки и таблицы. Оба автора рецензировали рукопись.

Авторы заявляют об отсутствии конкурирующих интересов.

Примечание издателя

Springer Nature остается нейтральной в отношении юрисдикционных претензий в опубликованных картах и ​​институциональной принадлежности.

1. Уэйнрайт Дж., Эллис Г.Ф.Р. Динамические системы в космологии. Кембридж: Издательство Кембриджского университета; 1997. [Google Академия]

2. Хирш М.В., Смейл С. Дифференциальные уравнения, динамические системы и линейная алгебра. Кембридж: Академическая пресса; 1974. [Google Scholar]

3. Перко Л. Дифференциальные уравнения и динамические системы. Берлин: Спрингер; 1991. [Google Scholar]

4. Arrowsmith DK, Place CM. Введение в динамические системы. Кембридж: Издательство Кембриджского университета; 1990. [Google Scholar]

5. Coley AA. Динамические системы и космология. Дордрехт: Спрингер; 2003. [Google Академия]

6. Тавакол Р. Введение в динамические системы. В: Уэйнрайт Дж., Эллис Г.Ф.Р., редакторы. Динамические системы в космологии. Кембридж: Издательство Кембриджского университета; 1997. С. 84–104. [Google Scholar]

7. Коллинз К. Более качественная космология. коммун. Мат. физ. 1971; 23: 137–158. doi: 10.1007/BF01877756. [CrossRef] [Google Scholar]

8. Эллис СКФ. Динамика безнапорной материи в ОТО. Дж. Матем. физ. 1967; 8 (5): 1171–1194. doi: 10.1063/1.1705331. [Перекрестная ссылка] [Академия Google]

9. Эллис СКФ. Релятивистская космология. В: Sachs RK, редактор. Труды Международной школы физики им. Энрико Ферми, Курс 47: Общая теория относительности и космология. Нью-Йорк: Академическая пресса; 1971. С. 104–182. [Google Scholar]

10. Эллис СКФ. Релятивистская космология. В: Шацман Э, редактор. Лекции Карджезе по физике 6. Нью-Йорк: издательство Gordon and Breach Science Publishers; 1973. С. 1–60. [Google Scholar]

11. Ellis GFR, Maccallum MAH. Класс однородных космологических моделей. коммун. Мат. физ. 1969;12(2):108–141. doi: 10.1007/BF01645908. [CrossRef] [Google Scholar]

12. Хьюитт К.Г., Уэйнрайт Дж. Ортогонально-транзитивные космологии g2. Учебный класс. Квантовая гравитация. 1990;7(12):2295–2316. doi: 10.1088/0264-9381/7/12/011. [CrossRef] [Google Scholar]

13. Wainright J, Lim WC. Космологические модели с точки зрения динамических систем. J. Гиперболический дифференциал. Экв. 2005;2(2):437–469. doi: 10.1142/S02198000531. [CrossRef] [Google Scholar]

14. Голиаф М., Эллис СКФ. Однородные космологии с космологической постоянной. физ. Преп. Д. 1999;60(2):437–469. doi: 10.1103/PhysRevD.60.023502. [CrossRef] [Google Scholar]

15. Каменщик А., Москелла Ю., Паскье В. Альтернатива квинтэссенции. физ. лат. Б. 2001; 511: 265–268. doi: 10.1016/s0370-2693(01)00571-8. [CrossRef] [Google Scholar]

16. Горини В., Каменщик А.Ю., Москелла Ю., Пиаттелла О.Ф., Старобинский А.А. Подробнее об уравнениях Толмена–Оппенгеймера–Волкова для обобщенного газа Чаплыгина. физ. Ред. D. 2009 г. doi: 10.1103/physrevd.80.104038. [Перекрестная ссылка] [Академия Google]

17. Алам, У., Сахни, В., Дип Сайни, Т. и Старобинский, А. А. Исследование расширяющейся Вселенной и темной энергии с помощью диагностики состояния. Пн. Нет. Р. Астрон. соц. 344 , 1057–1074. 10.1046/j.1365-8711.2003.06871.x.

18. Бенто М.С., Бертолами О., Сен А.А. Обобщенный газ Чаплыгина, ускоренное расширение и объединение темной энергии и материи. физ. Ред. D. 2002 г. doi: 10.1103/physrevd.66.043507. [CrossRef] [Google Scholar]

19. Дебнат У., Банерджи А., Чакраборти С. Роль модифицированного газа Чаплыгина в ускоренной Вселенной. Учебный класс. Квантовая гравитация. 2004;21:5609–5617. doi: 10.1088/0264-9381/21/23/019. [CrossRef] [Google Scholar]

20. Сахни В., Сайни Т.Д., Старобинский А.А., Алам У. Statefinder’a новая геометрическая диагностика темной энергии. Дж. Эксп. Теор. физ. лат. 2003; 77: 201–206. doi: 10.1134/1.1574831. [CrossRef] [Google Scholar]

21. Коупленд Э.Дж., Сами М., Цудзикава С. Динамика темной энергии. Междунар. Дж. Мод. физ. Д. 2006; 15:1753–1935. doi: 10.1142/s021827180600942x. [CrossRef] [Google Scholar]

22. Bahamonde S, et al. Динамические системы в космологии: темная энергия и модифицированная гравитация. физ. Отчет 2018; 775–777: 1–122. doi: 10.1016/j.physrep.2018.09.001. [CrossRef] [Google Scholar]

23. Jing H, Ming-Hui F, Ya-Bo W. Динамический аттрактор модифицированного газа Чаплыгина. Подбородок. физ. лат. 2008; 25: 347–350. doi: 10.1088/0256-307X/25/1/093. [CrossRef] [Google Scholar]

24. Li S, Ma Y, Chen Y. Динамическая эволюция взаимодействующего модифицированного газа чаплыгина. Междунар. Дж. Мод. физ. Д. 2009; 18:1785–1800. doi: 10.1142/s021827180

25. Бхадра Дж. и Дебнат У. Динамический системный анализ взаимодействующей переменной модели модифицированного газа Чаплыгина во вселенной FRW (2011). архив: 1109.3578.

26. Fang W, Li Y, Zhang K, Lu H-Q.