Куда можно поступить с базовой математикой 🚩 Высшее образование
Успешно сдать «базу» по математике под силу даже тем ученикам, которые в старших классах с трудом «тянули» алгебру и геометрию: задания в ЕГЭ достаточно простые, ориентированные скорее на «реальную математику», и статистика результатов получается довольно радостной. Базовая математика — единственный ЕГЭ, который оценивается не по стобалльной, а по пятибалльной шкале, и средний балл здесь стабильно оказывается выше «четверки» (4.2 — 4.3).
Однако многих, выбравших «базу» из-за простоты сдачи, ждет неприятный сюрприз: при приеме документов в вузы результаты по этому предмету не учитываются, даже если экзамен сдан безупречно. Ведь изначально разделение математики на уровни было введено как раз для того, чтобы «разделить» школьников на тех, кому этот предмет важен для продолжения образования и тех, кто после получения аттестата планирует обучаться по гуманитарным специальностям, уйти в техникум и так далее.
Поэтому, если в списке вступительных испытаний на ту или иную специальность значится математика — речь всегда идет об экзамене профильного уровня. Некоторые вузы акцентируют внимание на этом, делая в списке специальные пометки, некоторые — нет, считая «неполнофункциональность» базового экзамена очевидной. Однако исключений из этого правила нет — все вузы, имеющие право выдавать диплом государственного образца, подчиняются правилам, установленным «наверху». А это правило гласит, что результаты базовой математики не могут быть засчитаны при поступлении в вуз.
Отметим, что разделение экзамена на два уровня сложности было введено еще в 2015 году, однако представители приемных комиссий до сих пор отмечают миф о том, что базовая математика может пригодиться для поступления, в числе самых популярных заблуждений абитуриентов.
Поскольку «база» не может быть засчитана в качестве вступительного экзамена, выпускнику придется выстраивать свою образовательную траекторию с учетом того факта, что «в актив» ему могут быть засчитаны лишь результаты по всем остальным предметами. И возможности для поступления будут зависеть от того, сколько экзаменов он сдавал.
- Сданы только обязательные предметы: русский и базовая математика. Это абсолютный минимум, позволяющий получить аттестат, и поступить в российский вуз с таким набором предметов невозможно. Зато двери техникумов и профессиональных лицеев для таких абитуриентов открыты — для поступления в заведения профтехобразования достаточно предоставить аттестат. Не станет отсутствие ЕГЭ препятствием и для поступления в зарубежные вузы (включая заочное или дистанционное обучение).
- Сдан один предмет по выбору. Обычно набора из обязательного русского и одного «выбранного» предмета также недостаточно для поступления — в подавляющем большинстве случаев в программу вступительных испытаний включены три (а иногда даже четыре) предмета ЕГЭ. Однако из этого правила есть и исключения. При приеме на специальности, требующие «особых качеств» или на творческие направления вуз может принимать ЕГЭ по двум предмета. В качестве третьего экзамена в таком случае засчитываются испытания, проходящие на базе вуза. Больше всего шансов найти такой вариант — у тех, кто сдавал литературу или обществознание. В первом случае, к примеру, можно попытаться поступить на журналистику (если речь не идет о топовых вузах, то творческий конкурс можно пройти даже без длительной специальной подготовке). А с обществознанием при наличии хорошей физподготовки можно поступить в учебные заведения, готовящие специалистов для правоохранительных органов.
- По выбору сдано не менее двух предметов. Два предмета по выбору плюс обязательный русский (абсолютно «полнофункциональный» в плане поступления) дают возможность поступления на широкий спектр специальностей, не относящихся к техническим. Возможные варианты зависят от того, какие именно предметы по выбору были сданы.
Сдаю ЦТ математике и иностранному языку. Куда поступать?
Сдаёшь в 2021 году ЦТ по по русскому или белорусскому языку, математике и иностранному языку, но не знаешь, куда поступать? Упростим тебе жизнь и подскажем, на каких специальностях принимают такой набор сертификатов ЦТ.
ФинансыЧтобы разбираться в финансах, кредитовании, налогообложении, стоит поступать в БГУ, БГЭУ, ГГУ имени Франциска Скорины, ГрГУ имени Янки Купалы, БГСХА, БРУ, ВГТУ, ГГАУ, ПолесГУ, ПГУ.
Бизнес-администрированиеЭту популярную специальность ты найдёшь в БГУ, БГЭУ, БНТУ, БрГУ имени А. С. Пушнина, ИПП, ИПД, МГУ имени А. А. Кулешова, ПолесГУ. Выпускники бизнес-администрирования знают, как управлять предприятием или бизнесом.
АналитикаЭкономистов-аналитиков готовят только в БГУ, БГЭУ. Профессионалы в этой области специализируются на исследовании рынков и прогнозировании успеха предприятия.
УправлениеМожно податься в сферу государственного управления в Академию Управления, ГГУ имени Франциска Скорины. Менеджеров разной направленности (в туризме, бизнесе, строительстве, недвижимости, сельском хозяйстве и т. д.) готовят во многих государственных и частных университетах Беларуси: БГУ, БГЭУ, БНТУ, ГрГУ имени Янки Купалы, БГТУ, БГСХА, БГАТУ, БТЭУ, БРУ, БрГТУ, ВГТУ, ГГТУ имени П. О. Сухого, ГГАУ, ИПД, МИТСО, МИУ, МГУ имени А. А. Кулешова, МГУП, ПолесГУ, ПГУ, ЧИУП.
МаркетингЧтобы работать в сфере рекламы и продвижения, можно поступать в БГУ, БГЭУ, БНТУ, БГСХА, БГТУ, БРУ, БрГТУ, ВГТУ, ГГТУ имени П. О. Сухого, МИТСО. Освоить интернет-маркетинг есть возможность в БГЭУ, БГУИРе, ГрГУ имени Янки Купалы, БарГУ.
Информационные ресурсы и экономика электронного бизнесаСпециальности на пересечении информационных технологий и экономики есть в АУпПРБ, БГУ, БГУИР, БТЭУ, ГрГУ имени Янки Купалы, БрГТУ. Выпускники этой направленности разбираются в экономических процессах и умеют создавать вспомогательные сервисы и базы данных.
Бухгалтерский учёт, анализ и аудитТонкое искусство бухучёта постигают в БГЭУ, ГГУ имени Франциска Скорины, БарГУ, БГСХА, БелГУТ, БГЭУ, БрГТУ, ВГТУ, ГГАУ, МГУП, ПолесГУ, ПГУ.
ЛогистикаПоступать на эту специальность предлагают БГУ, БГЭУ, БНТУ, ГрГУ имени Янки Купалы, БТЭУ, БРУ, БрГТУ, МИТСО, МИУ, ПГУ. Логисты должны быть ответственными, предприимчивыми и стрессоустойчивыми. Хороший уровень английского языка обязателен.
Экономическая теорияБыть экономистом-теоретиком можно после обучения в БГУ или БГЭУ. С этой специальности выпускаются хорошие преподаватели экономики и исследователи экономических закономерностей.
Таможенное делоЧтобы в будущем работать на таможне, можно учиться в БГУ, БГЭУ, БНТУ, ГрГУ имени Янки Купалы, БелГУТ, ИПС РБ.
Международная экономикаСпециалисты в сфере внешнеэкономических связей оканчивают БГУ, БГЭУ, ГГУ имени Франциска Скорины, ГрГУ имени Янки Купалы, БГСХА, МИТСО. Выпускники этой специальности часто работают в международных компаниях и органах государственного управления.
Издательское делоС набором сертификатов ЦТ по белорусскому или русскому, математике и иностранному языку также можно податься на факультет принттехнологий и медиакоммуникаций ФПМ БГТУ. Это единственный вуз в стране, который предлагает такую специальность.
Гражданская авиацияТакой же набор сертификатов нужен для поступления в БГАА на специальность «Организация воздушного движения» факультета гражданской авиации.
План приёма, проходные баллы прошлых лет смотри в нашем каталоге учебных заведений. Заходи во вкладку «экзамены» и выбирай специальности по другим предметам ЦТ.
Спасибо, что дочитал до конца. Мы рады, что были полезны. Чтобы получить больше информации, посмотри ещё:
Курсы подготовки к ЦТ 2021 в образовательном центре Адукар
ЦТ онлайн
Каталог учебных заведений Адукар
Не пропускай важные новости и подписывайся на наш YouTube, ВК, Instagram, Telegram, Facebook и уведомления на adukar.by.
***
Если хотите разместить этот текст на своём сайте или в социальной сети, свяжись с нами по адресу info@adukar. by. Перепечатка материалов возможна только с письменного согласия редакции.
Страница не найдена :: НИМРО
Здравствуйте.Подскажите, если ученик получает неудовлетворительные оценки по двум обязательным предметам…
Да, в соответствии с приказом Минпросвещения России и Рособрнадзора от 16 марта 2021 года № 104/306.
Здравствуйте! В какой форме сдают ГВЭ по русскому языку учащиеся, не поступающие в вуз в …Здравствуйте! В соответствии с письмом Рособрнадзора от 01.04.2021 №04-26, на официальном сайте &quo…
Здравствуйте. Сколько заданий будет содержать контрольная работа по биологии в 9 классе и какова ее …Здравствуйте! Здравствуйте! В соответствии с письмом Рособрнадзора от 25.03.2021 от 04-17 содержание…
Здравствуйте, уважаемые коллеги! Помогите, пожалуйста, ссылкой на актуальную презентацию о порядке Е. ..Здравствуйте! Видеозаписи и материалы размещены на сайте проекта “Интерактивное министерство&qu…
Приветствую вас!Желаю стать общественным наблюдателем на ЕГЭ. Есть ли ещё возможность стать им в этом…
Здравствуйте! Вам необходимо обратиться в муниципальный орган управления образованием администрации …
Здравствуйте! Обратитесь в место подачи заявления на ЕГЭ и получите уведомление. Если подавали заявл…
Здравствуйте. Какая версия языка программирования PascalABC.Net будет установлена на станциях КЕГЭ п…Позвоните по телефону горячей линии, опубликованному на нашем сайте.
Добрый день. Где будут проводиться контрольные работы по одному предмету по выбору в 9 классе. В шко…Здравствуйте! Контрольные работы будут проходить в школах.
Здравствуйте. Являюсь выпускником прошлых лет . В январе писала заявление на сдачу егэ по трём предм…Здравствуйте! Вы можете отказаться от экзаменов, обратитесь в место подачи заявления. Штрафы за отка…
Здравствуйте. Подавал заявление на то, чтоб сдавать ЕГЭ в этом году (2021), мне сказали, что… Здравствуйте! Уведомление о месте проведения экзамена можно получить по месту подачи заявления на ЕГ…Экзамены по математике станут двухуровневыми в 2021 году – Освіта.UA
Выпускники, которые получают полное среднее образование, обязательно будут сдавать ДПА по математике |
В 2021 году выпускники учебных заведений, которые будут получать полное общее среднее образование, обязательно будут сдавать государственную итоговую аттестацию в форме ЗНО по математике. Соответствующая норма предусмотрена приказом МОН по некоторым вопросам проведения внешнего оценивания в 2021 году.
Содержание сертификационной работы по математике будет определяться Программой внешнего независимого оценивания результатов обучения по математике, утвержденной Министерством образования и науки.
По информации Украинского центра оценивания качества образования, для проведения ДПА по математике в 2021 году будет разработано два варианта сертификационных работ:
1) уровня стандарта;
2) уровня стандарта и профильного уровня.
Работа уровня стандарта будет состоять из 28 заданий различных форм, на выполнение которых отведено 150 минут.
Работа уровня стандарта и профильного уровня будет содержать 34 задания, на выполнение которых отведено 210 минут.
Выпускники, которые изучали математику на уровне стандарта, получат только оценку по шкале 1-12 баллов за выполнение заданий сертификационной работы уровня стандарта.
Выпускники, которые изучали математику на профильном уровне, за выполнение всех заданий сертификационной работы по математике уровня стандарта и профильного уровня получат оценку по шкале 1-12 баллов и 100-200 баллов по рейтинговой шкале.
Выпускники, которые изучали математику на уровне стандарта и планируют использовать результаты ЗНО по математике при поступлении в учреждения высшего образования, будут выполнять все задания сертификационной работы по математике уровня стандарта и профильного уровня, а как оценка ДПА будет засчитан результат за выполнение заданий 1-26, 30, 31.
Демонстрационные варианты сертификационных работ по математике – 2021
Освіта.ua
10.12.2019
Как поступить на IT (информатику, программиста) в Чехии
IT – самая востребованная и динамичная специальность в мире, за исключением сильно бедных и развивающихся стран.
Так зачем учиться дома и вдобавок платить за это деньги, когда высшее образование в Чехии совершенно бесплатно? Недаром сюда стекаются люди из бывших государств СССР: отучившись три года, на четвертый они, как правило, уже работают по специальности и в среднем получают в районе 45-50 тысяч крон, или 2 тысячи евро. Давайте сразу три основных тезиса:
- Поступить в чешский вуз (даже в Карлов) на информатику очень просто: конкурс тут порядка двух человек на место, а подаваться можно сразу во много университетов, из-за чего часть студентов идет на экзамен просто проверить знания.
- Сами вступительные сдаются по трем предметам – физика, математика и информатика, причем вне зависимости от того, на какое именно отделение (физика, математика или информатика) поступает человек. Худший результат из трех не засчитывается, то есть один экзамен можно полностью завалить или вообще на него не идти, и это никак не скажется на результате. Но это в Карловом. В других университетах вступительных может и не быть – например, из-за недобора студентов, или же по причине участия абитуриента в олимпиадах.
- Экзамены довольно простые и типовые. Например, математика – это решить несложное тригонометрическое уравнение, простенькую планиметрическую задачу, задачу на логику типа «У Маши и Даши 5 яблок. Кто украл шестое?» или типа ребусов. Информатика – ответить на вопрос «Сколько звездочек выведет эта программа?». На все про все дается 60-90 минут.
А вот это уже другое дело. Не секрет, что до диплома не добирается и половина поступивших, хотя это объясняется простым фактором: многие хотят стать программистами, но мало кто действительно в этом разбирается (и хочет разбираться).
Иначе это не объяснить никак. Поскольку в Чехии практически идеальная система образования, все подстраивается так, чтобы вы не вылетели (в этом никто – ни вы, ни сам университет – не заинтересованы). На сдачу предмета дается три попытки. Даже если у вас не получилось, предмет можно записать на следующий год (только один раз) – и у вас снова три попытки. То есть всего шесть попыток. Если даже с шестого раза не получилось – вас выгоняют, но! Не расстраивайтесь: всегда можно поступить заново (и бесплатно), причем вы не потеряете потраченное время, так как университет может освободить вас от уже сданных предметов. Правда, если ваша оценка за них была 1 или 2 (по-русски – выше тройки).
А как устроена учеба?Как и везде, только называется не специальность, не кафедра, а программа – например, программа “Теоретическая информатика”, “Программирование”, “Базы данных” и др.
У каждой из таких свой список обязательных предметов – так называемые предметы категории A (сюда входит матан, алгебра, программирование, алгоритмы и все в этом духе). Эти предметы лучше не заваливать и не переносить на следующий год (хотя так можно).
Далее – предметы категории Б, то есть полуобязательные. Их не надо сдавать все. Достаточно набрать по ним нужное количество кредитов – обычно это 3-4 предмета из 12 на свой вкус.
И предметы категории С, то есть свободные. Это вообще любой предмет вашего вуза – физкультура, философия или какая-нибудь история древнеегипетских археологических исследований – да что угодно! Их записывают для того, если вам не хватает кредитов, причем сдавать предмет вовсе не обязательно – вы можете завалить его и больше никогда не возвращаться.
Кредиты? А что это такое?В Чехии, как и во всей Западной Европе, действует кредитная система высшего образования. Каждый предмет имеет определенное количество кредитов. К концу обучения (то есть через три года) у вас их должно быть 180: большую часть составляют предметы категории А, меньшую – категории Б, и совсем маленькую – категории С. По-хорошему, за год вы должны набрать 60 кредитов (набрать – значит сдать конкретный предмет), но это по-хорошему – на практике достаточно 40. Хотя лучше с этим не баловаться – на следующий год вам придется повторять несданные предметы; их общее количество увеличится – учеба станет сложнее.
И еще: поскольку студент самостоятельно выбирает предметы (кроме категории А), расписание он составляет тоже самостоятельно. Вы сами решаете, по каким дням ходить на учебу, сколько и как часто – степень свободы тут высокая. И некоторые этим пользуются, когда выбирают себе самые «халявные» предметы.
Где в Чехии можно учиться на программиста?Университетов очень много – ступайте в наш специальный раздел и выбирайте сами. Здесь мы разберем четыре основных вуза, и это:
1. Карлов университет в Праге.
Математико-физический факультет. Специальности: математика для информационных технологий, безопасность и надежность программного обеспечения, общая информатика, программирование и программные системы, компьютерная графика, системное программирование, сети программного обеспечения и базы данных, веб разработка, биоинформатика, преподавание – комбинация математики и информатики в области педагогики. Подача документов обычно до конца марта.
2. Технический университет в Праге.
Факультет информационных технологий в первый год предлагает одну специальность – информатику. Студенты учат одинаковые предметы. На третьем семестре они выбирают из шести направлений: безопасность и информационные технологии, информационные системы и менеджмент, компьютерная инженерия, теоретическая информатика, разработка веб сайтов и программного обеспечения – компьютерная графика / программное обеспечение / разработка веб страниц. Заявления принимают до конца марта.
Факультет электротехники. Специальности: электротехника, энергетика и менеджмент, электроника и коммуникации, открытые электронные системы, кибернетика и робототехника, информатика, медицинская электроника, биоинформатика, разработка программ и технологий, электротехника, электроника и коммуникационная техника. Заявки до конца марта.
3. Масариков университет в Брно.
Факультет информатики. Специальности: прикладная математика, биоинформатика, чешский язык со специализацией компьютерная лингвистика, географическая картография и геоинформатика, химическая информатика и биоинформатика, информатика в общественном деле, математическая информатика, математика для педагогов, параллельные дистрибутивные системы, компьютерная графика и разработка образа, компьютерные сети и коммуникации, компьютерные системы и обработка данных , предпринимательская информатика, социальная информатика. Заявки до конца февраля, но лучше уточнять на страницах самого учебного заведения.
4. Технический университет в Брно.
Факультет электротехники и коммуникационных технологий. Специальности: английский язык в электротехнике и информатике, аудиоинженерия, автоматизация и измерительная техника, биомедицинская техника и биоинформатика, электроника и методы оповещения, информационная безопасность, микроэлектроника и технологии, тяжелая электротехника и энергетика, телеинформатика. Подача документов до конца марта.
Факультет информатики и коммуникационных технологий. На инженерном уровне (магистратура) обучения студенты выбирают следующие специализации: безопасность информационных систем, информационные системы, графика мультимедиа.
Что делать после университета?Зависит от вас. С высоким спросом на IT-специалистов растут и их зарплаты. Центр образовательной политики провел исследование среди 35 тысяч выпускников вузов в период первых пяти лет после защиты диплома. Выпускники физмата Карлова университета зарабатывали в среднем 49 592 кроны до вычета налогов, и это самый высокий показатель среди всех факультетов в Чехии. Выпускники Электротехнического факультета ČVUT в среднем зарабатывали 47 444 кроны, а бывшие студенты с Факультета информатики Масарикова университета в Брно – 47 233 кроны.
Образование будущего: идеи фантастов и учёных | Будущее, Наука
Некоторая степень беспокойства о будущем — узнаваемая черта обществ современного типа. К рубежу ХХ века оно превращается во вполне осязаемую тревогу о дне завтрашнем. Любопытно заметить, что именно в те моменты, когда мир начинает быстро меняться, особую актуальность приобретает тема образования. Видимо, люди не хотят отставать от прогресса. Так насколько ценным завтра окажется всё, чему мы учим сегодня?
Есть несколько тем, в которых едва ли не каждый мнит себя специалистом, и одна из них — обучение и воспитание. Возможно, поэтому претензии к школе были всегда, причём прямо противоположные: одни обвиняют её в отставании от жизни, другие — в непочтительности к классике и забвении старых добрых традиций. Как бы то ни было, сегодня в вопросе об образовании тесно переплетены современные технологии, почтенная история и футурологические прогнозы.
Чтобы представить, как станут развиваться образовательные технологии и практики в будущем, нам стоит сперва сделать шаг в прошлое. В недалёкое прошлое научной фантастики и ретрофутуризма — время, когда люди скорее фантазировали, чем анализировали. Это позволит проследить тренды, идущие из прошлого в настоящее, и разглядеть тропинки, уходящие в тень завтрашнего дня.
Рисунок Альбера Робида. Особенно примечателен мужчина, слушающий с драматически серьёзным лицом одновременно два источника
Западная культура веками уповала на устную передачу знаний. Философ Пифагор заставлял новых учеников сидеть за ширмой и слушать его речи, а Платон устами одного из персонажей в диалоге «Теэтет» сетует на изобретение письма — мол, оно расслабит память людей и сделает их неспособными к настоящему обучению. Вплоть до конца XIX века школа и университет главным образом требовали от учащегося вслушиваться в речь обладателя знания. Даже эпоха Просвещения, прославлявшая печатное слово, в целом не изменила многовековую практику обучения — разве что породила такую странную вещь, как учебник (это почти как книга, но с разжёванными и разбавленными идеями). Но к рубежу XIX-XX веков скачок знаний во многих областях науки и жизни привёл к тому, что важность школ выросла на глазах, как и срок обучения, который растёт до сих пор — от 2-4 и 6-8 лет в земских школах XIX века до 11-12 лет в современных. Поэтому узревшие тенденцию проницательные фантасты и иллюстраторы-футуристы задались вопросом: «А как станут обучать в будущем?»
Ещё в конце XIX века известный иллюстратор Альбер Робида напрямую связал электрификацию быта с возможностью постоянно получать информацию (хотя обучение и развлечение у него ещё не разделены). Так, на одном из рисунков 1892 года мы видим пассажиров, которые в салоне транспорта могут подключиться к разным «каналам» под названиями «легкая поэзия», «философия», «новеллы», «светский роман» и так далее. Решения авторов той эпохи по-своему очаровательны, но, увы, недостижимы: ни чудесные таблетки, ни гипноз или животный магнетизм, ни буквальная переработка книг в электросигналы (как на известной иллюстрации Вильмара) не способны передавать знания.
Иллюстрация Вильмара из серии открыток 1910 года «В 2000 году»
Детская мечта не тратить время на постылую школу, конечно, ещё долго будет вдохновлять многих: в конце концов, лень — двигатель прогресса. Уже в фантазиях конца XIX века различим вектор поиска: обучение в будущем должно стать быстрым, удобным, доступным и, как добавят в наше бурное время, актуальным.
С распространением радио в странах Европы и США оформился новый и теперь уже вполне реалистичный тренд: образовательный процесс должен быть наглядным и транслируемым. Например, в 1930-х была предложена схема образовательного ТВ будущего: с профессором, говорящим в микрофон, и с видеоснимающим устройством напротив ещё традиционной меловой доски.
1930-е: уже почти Coursera!
Первая идея — наглядность — получила своё воплощение в уже набившей оскомину идее визуального сопровождения. Современные школа и университет буквально помешаны на идее всё превратить в доступные и понятные картинки (о проблематичности такого подхода скажу ниже). Идея с трансляциями логично привела к развитию записывающих технологий и проектов дистанционного образования. В 50-х в США произошёл бэби-бум, и школ стало не хватать. Ученый Саймон Рэмо откликнулся на эту проблему и предложил концепт под названием «кнопочное образование» (push-button education). В известной иллюстрации 1958 года, сделанной Артуром Радебо для Chicago Tribune, мы видим изображение такого класса будущего. В основе этой «дистанционки» — звуковые фильмы и механические печатные машинки; Работы учащихся оцениваются автоматически, однако сохранённые отчёты периодически отправляются на проверку высококвалифицированным преподавателям. В другой своей «фантазии» Радебо предлагает библиотеку будущего, где на носителях совмещены звук, текст и видео, а проецируется всё это прямо на потолок.
«Кнопочное образование» по версии Артура Радебо
Библиотека будущего: наверное, весьма удобно и полезно для позвоночника
В 50-е появилась и ещё одна идея, актуальная поныне, — замена учителя роботом. Задумка была в том, что робот никогда не ошибётся в воспроизводстве точной информации, человеческая же память несовершенна. Как заметил однажды Артур Кларк, «любой учитель, которого может заменить компьютер, должен быть им заменён».
Забавно, что в мультфильмах и фильмах о будущем почти вплоть до 90-х подобные роботы говорят специфическим голосом — монотонным, металлическим, с какими-то техническими призвуками. Думаю, с такими «учителями» учащиеся засыпали бы на второй минуте и видели сюрреалистические кошмары. Впрочем, роботы с нормальными голосами пока что так и не появились, да и представление о том, что обучение — это простая передача информации, кажется, уходит в прошлое. Однако и сегодня (особенно в Японии) многие питают надежду на то, что киборг с тонко настроенной эмоциональной интонацией и адекватной мимикой сумеет заменить учителя: и заданную информацию перескажет, и на вопросы учащихся ответит. Но те, кто видел ужимки робота Софии, наверняка понимают, что до идеала ещё очень далеко.
По крайней мере, София больше не хочет убивать людей, — много ли таких учительниц?
Начиная с 1970-х уповать стали уже не на роботов, а на искусственный интеллект. Несмотря на то, что создание полноценного («сильного») ИИ оказалось чертовски сложной задачей, программы попроще, вроде чат-ботов с самообучающимися алгоритмами, уже способны справиться с тем, что прежде было под силу только человеку. В 2016 году группа Georgia Tech создала первого ассистента для преподавателей — Jill Watson; по сути, это был чат-бот, который отвечал на вопросы студентов (не знавших, что общаются с программой). Впрочем, учитывая, какие вопросы обычно задают преподавателям, по ответам и в самом деле не поймёшь, человек это или наскоро написанный бот.
Вероятно, именно эта линия будет активно развиваться и дальше. Например, методы deep learning («глубинного обучения») позволяют надеяться, что в скором времени машинный перевод позволит снять языковые барьеры при чтении — если не художественной литературы, то по крайней мере учебников. С методами data mining («добычи/глубинного анализа данных») связаны многие сегодняшние представления о будущих профессиях. Во многих прогнозах — например, в «Атласе новых профессий», созданном на основе мнений работодателей, футурологов и авторитетных форсайтеров, то есть исследователей трендов, — есть общее место: идея об интеграции творческих и аналитических способностей человека с алгоритмом, собирающим разного рода данные. Иными словами, в большинстве отраслей — от строительства до моды и от медицины до финансов — будет востребован тандем из сложной программы (ей поручат поиск и сбор данных, вычисления, анализ и прогнозы) и принимающего решения специалиста. Такой новый вариант раба и господина. Может поэтому фантастика так часто запугивает нас бунтом машин с искусственным интеллектом?
В итоге наше будущее, скорее всего, будет чем-то напоминать вселенную игры Mass Effect, где настоящий ИИ под запретом, зато почти каждый пользуется ограниченной версией — ВИ (виртуальным интеллектом). Уже сегодня для многих из нас привычны самые разные напоминалки, планировщики и личные базы данных — от телефонной книжки до подборки интернет-подписок. Кто знает, насколько далеко зайдет этот процесс? Может, в будущем придётся заботиться не только о собственном образовании, но и об обучении своих программных оболочек?
Стоит заметить, подобный сценарий в разы усложняет задачу образования: для обучения системному и критическому мышлению, а тем более творческим и коммуникативным навыкам не существует универсальных методик. Люди, может, не во всём уникальны, но всё-таки у них весьма разнообразные сочетания способностей, возможностей и желаний. Чтобы помочь современному учащемуся разобраться в обилии предлагаемых методик и программ, нужен особый специалист. Эта профессия получила название «тьютор», и сегодня главная задача тьютора — помочь человеку выстроить свой образовательный трек. Проще говоря, не учиться ради «бумажки», а взять то, что нужно, оттуда, откуда нужно, не тратя лишних сил и времени. Тьюторы — хорошее решение, но недоступное для большинства (потому что где взять столько специалистов?). Возможно, как раз в этой области на помощь придут обучаемые программы. Это рискованная затея, хоть и перспективная: всё-таки пока программы не способны понять человека, особенно если он сам толком не знает, чего хочет. В этом, собственно, одна из задач тьютора — понять реальный запрос. С чётко сформулированным запросом достаточно и интернет-поисковика.
С развитием технологий в 1980-2000-е годы, как и в годы промышленной революции, снова остро встал вопрос об исчезновении старых профессий. Впрочем, проницательные люди задумались об этом заранее. Айзек Азимов ещё в 50-60-х размышлял, как этичнее всего поступить с «лишними» людьми (теми, кого вытеснят автоматизация и роботизация), а исследователи современной культуры Маршалл Маклюэн и Элвин Тоффлер в 70-х подчёркивали, что в экономике ближайших десятилетий важно будет переучиваться. В 1970 году Тоффлер весьма точно предсказал важную проблему будущего — футурошок, то есть психологическую реакцию человека на слишком стремительные изменения в мире. Нервная система, перегруженная изобилием информации, стимулов и стрессов, будет вынуждена защищаться, что приведёт к депрессии, тревожности и апатии. И действительно, в последние двадцать лет люди, имеющие доступ к сотням ресурсов, книг и учебных курсов, чаще всего жалуются на отсутствие или сбои мотивации. Эта проблема посложнее многих: как минимум, давно известно, что простыми советами в духе позитивной психологии она не решается.
Столы-планшеты нам обещают уже много лет, но пока впустую
Скажу здесь пару слов и о визуальном сопровождении образования — ведь именно его вы, скорее всего, увидите, загуглив что-нибудь про «образование будущего». Например, это будут школьники, что-то рисующие неоновыми линиями в AR (дополненной реальности), или студенты, радостно уставившиеся в планшеты, большие экраны или специальные очки. Это, конечно, большой скачок по сравнению с тем, чтобы разглядывать меловую доску или лист бумаги. В визуализации обучения многие увидели буквально панацею от скуки и затруднений в понимании.
Первоначально изображения были важны для обучения не особо грамотных людей. Затем визуальность стала распространяться как хорошее средство убеждения: образ всегда воспринимается менее критично, чем текст. Сегодня диаграммы, схемы и другую инфографику ценят за лаконичную подачу. Ну и, само собой, графический интерфейс сильно упростил использование компьютерных программ (слава Дугласу Энгельбарту!).
Ролевые игры — лучшая школа жизни!
Однако на запоминание это влияет очень мало, вопреки популярному до сих пор мифу о «конусе обучения» Эдгара Дейла. Эта «теория», принятая без серьезных исследований и распиаренная журналистами, привела к повальной моде на презентации, ролевые игры и разноцветные маркеры. Так называемые «новые педагогические технологии», строящиеся на ней, — обычное очковтирательство. В реальности хорошо усваивает материал тот, кто внимательно слушает, вдумчиво и с пометками читает, а также обсуждает с подходящими собеседниками то, что интересно лично ему. Всё остальное — попытка впихнуть невпихуемое, да ещё и вопреки желанию. Так что новые цифровые технологии по визуализации (голограммы, 3D-моделирование и интерактивное взаимодействие с дополненной реальностью), хоть и упростят коммуникацию с учителями, никакой революции не совершат. Даже если все учащиеся, подобно гостям Изумрудного города, ни на минуту не будут снимать своих специальных очков.
Если ваше образование спонсирует «Абстерго» — это повод насторожиться (кадр из игры Assassin’s Creed)
Что же нас ждёт в будущем? Сценариев и линий развития множество. Мы поговорим о наиболее очевидных, оставив за кадром как конец цивилизации, так и фантазии на тему помощи от инопланетных братьев по разуму. Увы, в глобальном масштабе списать нам не у кого — придётся доходить до всего своим умом.
Школе, университету и частным фирмам в той или иной форме нужно будет ответить на три запроса.
Во-первых, как дать актуальное образование, то есть адекватное и востребованное на рынке, учитывая, что сам рынок не только весьма изменчив, но и не всегда прозрачен?
Во-вторых, как сэкономить время и силы, которые обычно тратятся на усвоение знаний и навыков? Люди хотят всего и сразу, и многие готовы за это платить. Вот только появятся ли подобные технологии — или возможна только небольшая оптимизация процесса?
В-третьих, как бороться с ограничениями человеческого организма (память, внимание) и психологии (мотивация, склонности, таланты)?
Начнём с первой из современных претензий к образованию, особенно высшему: оно неадекватно изменчивым требованиям мировой и региональной экономики.
Один из способов ответить на запрос рынка — соединить обучающего и работодателя. Можно с самого начала получать образование внутри большой корпорации, которая и определит, что и в каком объёме нужно знать, чтобы быть востребованным сотрудником. Более того, таким образом можно с самого раннего этапа становления личности, буквально с букваря, внушить будущим сотрудникам столь ценные для дзайбацу лояльность, корпоративные ценности и неприкосновенность коммерческой тайны. Проблема, однако, в том, что подобный подход может привести к изоляционизму знания и не будет соответствовать универсальным принципам науки. Кто-то однажды заметил, что не может быть немецкой, английской или русской математики. В подобном сценарии будущего мы запросто увидим физику, материаловедение и программирование от корпораций «Инадзаги», «Тайрел» или «Ай-Ти-Ти и Оно-Сендай», которые будут различаться между собой не только в решениях, но и в принципах. Сегодня существует компромиссный вариант: хедхантеры и гранты от корпораций, но он будет работать лишь до первого серьёзного кризиса с повышением ставок.
Муштра с малых лет — апогей планового обучения (кадр из фильма «Игра Эндера»)
Другой способ решения — какой-то вариант централизации с чётким планированием. Сегодня в силу исторических реалий отношение к этому довольно скептическое, но с ростом вычислительной мощности суперкомпьютеров что-то подобное весьма вероятно. Многие фантасты и их читатели до сих пор верят в то, что один из сценариев будущего — это автократия искусственного интеллекта (даже не знаю, зачем ему белковые двуногие). Причина возврата к плановому образованию проста: современное общество строится на поощряемой конкуренции, которая ведёт к неоптимальным растратам человеческого потенциала. Прославляя самореализацию, мы в то же время предлагаем молодёжи выбирать будущую стезю буквально наугад. Представьте себе в порядке бреда, что завтра тысячи талантливых людей вдруг решат стать директорами зоопарков — а то и вовсе родители генетически запрограммируют детей под эту профессию. Молодые люди потратят несколько лет, чтобы получить соответствующую квалификацию. Но зоопарков мало, да и кто знает, будут ли они вообще через 10-15-25 лет. Что делать обществу с этой армией зоопарковых менеджеров? В лучшем случае переучивать, теряя время и деньги. Однако планирование в любой форме означает, что кто-то не просто не реализует свою мечту (это и сегодня встречается сплошь и рядом), но даже не получит шанса это сделать.
Для планового обучения нужна довольно точная система оценки человеческого потенциала. Таких пока не существует, хотя уже зарождается так называемая новая френология, в которой выпуклости черепа заменены на зоны мозга: она обещает предсказать характер и судьбу по нейронной карте. Кстати, утопии и антиутопии — от Платона до бездарного «Дивергента» — часто уповают именно на такую возможность: оценить призвание человека и вписать его в подходящую «касту». Когда кто-то говорит о точном понимании способностей другого человека, где-то на горизонте маячит тотальный контроль.
Вообще, тема обучения — отнюдь не безобидная и не сверхгуманистическая. Напротив: чем больше людей некритично воспринимает обучение как некую безусловную ценность, тем больше шансов дойти до крайне неприятных репрессивных явлений. Многие уже воспринимают лень как дефект и болезнь, а некоторые пытаются с первых же месяцев сделать своего ребенка конкурентоспособным, превращая детство в гонку за навыками. Сюда же можно отнести формальные и потому порой безумные требования постоянно повышать квалификацию — без учета того, чем вы, собственно, занимаетесь.
Можно вырастить универсального гения, но не сломается ли у него психика? («Миссия «Серенити»)
Когда речь заходит об апгрейде человеческой природы или поиске оптимальных путей развития, это, по сути, две стороны одной медали — желания максимизировать быстроту, лёгкость и комфорт обучения.
Излюбленная тема фантастов прошлого — передача информации из одной головы в другую. Представляется это всегда в преувеличенных масштабах: надел вместе с доктором наук конус с проводами — и уже через пару минут чинишь реактор. В целом сам принцип транскраниального считывания (то есть передачи импульсов через череп без его вскрытия) довольно реалистичен. В 2017 году команда профессора Цунео Нитты продемонстрировала систему, которая фиксирует электрическую активность зон мозга, а затем распознаёт — точнее, обучается точно угадывать — задуманный человеком символ или слово. Подобных проектов с начала нулевых разрабатывается более двух десятков: на распознавание образов в уме, на определение жеста, на понимание характера образа (реально видимый или воображаемый) и так далее. Но самое интересное — это, конечно, обратная технология, позволяющая не считывать, а записывать и переписывать мысли. ТМС (транскраниальная магнитная стимуляция) уже существует, только неясно, на какие «кнопки» в мозгу жать, чтобы получить ожидаемый эффект — ощущение, образ, слово, мысль. Пока намного проще и эффективнее пользоваться словами. Более того, лично я сомневаюсь, что технология чтения и передачи мыслей даже в развитой форме пригодится в обучении: скорее уж ей место в дизайне или в сфере удовольствий. Дело в том, что полученный опыт, то есть тот, который вы выучили и можете использовать, — это всегда опыт артикулированный, оформленный в слове, формуле, картинке. Иными словами, то, что важно передать, можно передать и словом, а всё остальное не особо-то и нужно. Конечно, есть те, кто искренне верит во фразу «мысль изречённая есть ложь», но, на мой взгляд, это какая-то излишняя драматизация; понимание в словах — самое оптимальное, что у нас есть. Хотя и море ошибок в понимании — это тоже следствие высокой степени свободы, заложенной в языке.
Другая тема, с которой связаны многочисленные надежды на будущее, — это аугментация, генетика и прочий биотех. Если подумать, импланты в обучении нам вряд ли сильно помогут, даже если это будут дополнительные модули памяти или усиленные сенсоры. Высокотехнологичные протезы могут увеличить продолжительность жизни, приспособленность и силу, но для учёбы по-прежнему придётся индивидуально обрабатывать информацию, что потребует и времени, и мотивации.
Сложнее предсказать развитие генетики. Некоторые считают, что будущее за людьми, генетически модифицированными под те или иные задачи и сферы деятельности (яркие примеры — «О дивный новый мир» Олдоса Хаксли и «Гаттака» Эндрю Никкола). По сути, это всё та же вера в чудесные зоны мозга, которые делают вас умным, наделяют способностями к музыке или математике, хорошей памятью или обострёнными чувствами. Однако подобные проекты, как и всякая евгеника, сталкиваются с тремя принципиальными проблемами: неизвестно, что будет востребовано через десяток-другой лет, какие побочные эффекты могут быть у генетического вмешательства и как повлияют внешние обстоятельства.
Я знаю кун-фу! (Кадр из фильма «Матрица»)
Более того, даже если нам удастся создать эдакого «головастика», который будет запросто учиться и переучиваться, вполне возможно, что такой человек окажется и весьма хрупок — например, в психологическом отношении. Люди и с обычным-то мозгом порой вырабатывают у себя странные когнитивные зависимости — от чтения, от решения головоломок, от вербального общения и так далее. Боюсь себе представить ломку «головастика», когда ему неоткуда или нечему будет учиться, если даже меня без интернета и книги на второй день корёжит так, что я готов читать и гороскопы, и про озимый чеснок, и про личную жизнь заштатных «кинозвёзд».
Из того, что сегодня более-менее известно о мозге, можно сделать два простых вывода. Во-первых, мозг учится всю жизнь и при необходимости задействует зоны, которые вроде бы отвечают за совсем другие задачи. Это называется нейропластичностью. Поэтому нет смысла делать какие-то модификации: если функция востребована, она будет работать и усложняться. Например, у современных людей, пользующихся медиа, лучше работают зоны, отвечающие за распознавание визуальных образов. Во-вторых, мозг — дорогая игрушка для организма, поэтому он всегда стремится к балансу. Иными словами, если где-то в способностях прибавилось, то где-то — убавится. Усидеть на паре стульев не удастся. Пример тому — всё те же современные пользователи медиа, у которых вместе с эффективностью одних функций появляются слабые места в других (например, падает длительность концентрации внимания).
Даже самая развитая генетика не сотворит чудес и вряд ли поможет в решении другой сложной проблемы — проблемы мотивации. Человек, который на самом деле хочет что-то изучить, — это поистине машина, способная глотать и перерабатывать массивы данных, причём практически в любых условиях. Совсем другое дело, когда «вроде бы надо» и «вроде бы хочу», но на деле — «чёт не очень». Тогда и лень, и усталость, и отвлекающие факторы кругом. Долгое время образовательные методики строились на неочевидном тезисе, что люди предрасположены к познанию (лишь изредка им нужен толчок в форме дополнительной заинтересованности). Однако современная психология знает, что врожденного «инстинкта знать» не существует, а любопытство избирательно и прагматично. Причём эта прагматика сугубо индивидуальна, что ещё ярче проявляется с увеличением разнообразия в обществе. Поэтому на новых поколениях прежние системы поощрения и вовлечения работают кое-как. Изменится ли сам психологический подход в педагогике? Это большой вопрос, достойный отдельного материала. Пока же в части работы с мотивацией современные люди — просто питекантропы. Возможно, поэтому мечта записать что-то в ум, не напрягая волю, всегда актуальна. И всегда безнадёжна. Или нет?
Ждёт ли нас возврат к «чудесной таблетке», то есть к очень быстрым и удобным решениям? Думаю, вряд ли, хотя таблетки, похоже, будут. Пример (хотя и жутковатый) быстрого воздействия на нейронные соединения, способного преобразить наш опыт и умения, можно увидеть в видеоигре Prey (2017). В мире Prey на основе инопланетной жизни созданы «нейромоды», способные за одну небольшую операцию наделить человека новым умением — от игры на фортепиано и навыков ремонта до телекинеза и мимикрии. В отличие от фантастики, современные исследования мозга, увы, не сулят каких-то радикальных прорывов в обучении — прямое воздействие на нейронную структуру всё ещё крайне ограничено. Мы не можем построить извне даже самое простое впечатление, потому что не знаем, как в точности оно возникает. Собственно, в ту же проблему до сих пор утыкается создание искусственного интеллекта: чтобы его конструировать, нужно знать, что такое «естественный интеллект», но мы понимаем это лишь частично.
Зато мы больше, чем когда-либо, знаем о биохимии процессов внимания, обучения и памяти. Вполне возможно, что появятся средства форсажа мозга вроде тех, что показаны в фильме «Области тьмы». Или, еще вероятнее, нас ждёт что-то наподобие эпизода из сериала Incorporated, где десятки соискателей по 12 часов буквально впитывают тонны информации, вливая в себя специальный химический коктейль. Насчёт экрана, наушников и клавиатуры футурологи прошлого были правы, а вот капельницы в их наборе всё же не было. Меж тем, если требования к скорости и объёмам обучения продолжат возрастать теми же темпами, нас ожидает разработка и легализация самых разных препаратов, влияющих на эффективность мозга, — в том числе тех, которые сейчас сочли бы за наркотики.
Собственно, уже сегодня можно встретить прообраз будущих Джонни-мнемоников на допинге — это деловые люди, у которых ощутимая часть работы связана с (пока еще) внешними гаджетами, а ритм жизни определяют кофе, энергетики, ноотропы, антидепрессанты, снотворное и витамины горстями (и это в лучшем случае). Чем большее преимущество будет давать быстрая обучаемость, тем сильнее будет искушение выжать педаль мотивации и искусственной стимуляции в пол. Вот только, по иронии судьбы, постоянные попытки учиться и решать проблемы через усилие — одно из главных препятствий для поиска оригинальных и творческих решений. Вдобавок напряжение мешает взаимодействовать с рабочей памятью — то есть той, что позволяет удерживать в уме разные по смыслу и формату данные. Чтобы решить сложную проблему, рекомендуется задействовать сразу обе системы мозга (дефолт-систему и исполнительную), а это возможно при «блуждающем уме» — расслабленном, не сконцентрированном состоянии. Так что в будущем важно будет учить человека отключаться от частностей, а также забывать то, что он когда-то выучил, — это важно для переобучения.
* * *
Выучить всё невозможно. А в будущем темпы прироста знания (не говоря уже о «мусорной» информации, которой мы завалены и сегодня) будут в разы превосходить нашу способность не только заучивать, но и понимать. Так что уже сейчас можно слегка расслабиться по этому поводу. А заодно начать получать новые актуальные навыки: выделять важное, искать нужную информацию и отдыхать, давая своему уму «поблуждать» в расслабленном состоянии.
Действия с логарифмами. Набиваем руку!
В данном уроке мы будем учиться работать с логарифмом на уже весьма и весьма приличном уровне. Поэтому для успешного решения примеров этого урока рекомендую погулять по ссылкам:
Что такое логарифм?
Действия с логарифмами. Постигаем азы!
Почитайте, пока не поздно.) Почитали? Всё понятно! Отлично! Тогда движемся дальше.)
Теперь настал черёд завязывания более крепкой дружбы с логарифмами и, соответственно, решения серьёзных (в том числе сложных и нестандартных) примеров.
Чтобы не скакать из темы в тему, прежде всего я ещё разочек выпишу все основные свойства и формулы логарифмов. Вот они:
Это основной набор формул, необходимых для успешной работы с логарифмами практически на любом уровне сложности. Иногда в школе (и в некоторых продвинутых учебниках) дают больше формул, но в целом приведённого перечня для решения большей части примеров оказывается вполне достаточно. Эти формулы надо помнить! Но, ещё раз повторяю, не просто помнить, а уметь применять! Причём в обоих направлениях — как слева направо, так и справа налево. Вроде бы это всё и так понятно и очевидно, но… дальше всё поймёте.) Как надо помнить формулы, я вам вряд ли смогу подсказать, а вот как уметь применять — подробно расскажу и покажу в этом уроке.
Итак, продолжаем наши игры!
Все формулы. Все степени. Много дробей! Двоюродные и троюродные братья.
Ну что ж, теперь приступаем к работе со всеми формулами (кроме последней формулы перехода к новому основанию). Используем все свойства степеней и активно включаем в работу степени с отрицательными и дробными показателями. Поди сообрази, что, например,
0,04 = 5-2.
Или
Это уже не родные, а двоюродные и троюродные братья по степени получаются…)
Посему, если есть пробелы в степенях, то для начала милости прошу сюда:
Что такое степень. Свойства степеней.
Ну, а для тех, кто со степенями давно на “ты” – продолжаем.)
Пример 1
За что зацепиться? Хорошо, если сразу догадались, а если нет? Если нет, значит, перечитываем первый практический совет прошлого урока — переходим к обыкновенным дробям!
У нас в одну кучу намешаны десятичная дробь и смешанное число. Вот и перейдём к единообразию — к обычным дробям. А там, глядишь, и забрезжит свет в конце тоннеля…
Пишем:
Так, уже кое-чего проясняется: 49 с семёркой родня, а 100 — с десяткой:
49 = 72
100 = 102
Стало быть, по свойствам степеней можно записать:
Ну, вот и спасительный лучик света! Выносим двойку за логарифм и получаем:
Уже всё стало выглядеть гораздо симпатичнее. Всё бы ничего, только основание 7/10 и аргумент 10/7 у нас записаны кверху ногами. Что делать? Да свойства степеней вспомнить! На этот раз — с отрицательным показателем:
И снова выносим показатель степени (минус единицу) за знак логарифма, переворачиваем аргумент и получаем:
Ответ: -2
Готово дело.) Теперь пробуем самостоятельно:
Ответ: -1
А теперь вовлекаем в наш увлекательный процесс корни. То есть, не что иное, как… степени с дробными показателями. Да-да!
Пример 2
Надеюсь, вы не забыли, что lg — это просто логарифм по основанию 10? Или десятичный логарифм? Пример достаточно простой, без заморочек. Надо всего лишь вспомнить, что корень кубический из 7000 — это 70001/3. С семёркой — аналогично. А дальше по формуле разности логарифмов да по формуле деления степеней. Получим:
Ответ: 1
Вот так вот. Здесь мы снова перешли к обычным дробям. Но не от десятичных дробей или смешанных чисел, а от корней. В этом безобидном примере вполне можно было бы и без дробей обойтись, работать напрямую с корнями, но в более сложных примерах корни могут вконец запутать. Как, например, вот в таком примерчике:
Пример 3
С чего начать? И тройка есть, и девятка. Правда, три в квадрате — это и будет девятка… Но в примере ещё и корни разных степеней смешались в кучу — квадратный и кубический! Ужас… Но паниковать и сдаваться рано. Перейдём-ка от корней к степеням с дробными показателями! Распишем девятку как 32. А там, того гляди, всё и наладится.)
Верные мысли! Итак, по свойствам степеней для основания и для аргумента мы можем записать:
Вот всё и прояснилось.) Оба числа — и основание, и аргумент — оказались… родственниками! По тройке. ) Только совсем уж дальними. Даже не троюродными, а десятиюродными братьями: основание — это три в степени 3/2, а аргумент — та же тройка, но в степени 7/3… Тем не менее факт остаётся фактом — родство по степени (хоть и очень дальнее) установлено. Вот и все формулы и свойства заработали! Выносим наши дробные показатели из за знак логарифма и аккуратно считаем:
Вот так. Здесь уже, конечно, немножко повозиться со степенями пришлось. А что делать… Так что не стесняемся переходить от корней к дробям! И всё получится. Обязательно.)
Вот вам и очередные практические советы:
При наличии дробей в примере, переходим от дробей к степеням с отрицательными показателями.
При наличии корней переходим от корней к степеням с дробными показателями.
Что ж, пришла пора разгрызть и какой-нибудь особо крепкий орешек. Как, например, вот такой примерчик:
Пример 4
Вычислить:
Опять же, с чего начинать? Если имеете хоть малейшее представление — флаг вам в руки. Вперёд и с песнями, как говорится.) Если понятия не имеете — подключаем зелёные практические советы и размышляем синим цветом. Примерно так:
“Ух, наворотили… Кошмар! Напролом явно не решается, надо сначала как-то преобразовывать пример. Но — как? Будем вспоминать практические советы.
1. Если в одном примере смешались в кучу разные типы дробей, то переходим к обыкновенным дробям.
Где здесь дроби? Дробей не видно. Ладно, этот пункт пока пропустим. Что там у нас ещё есть? Вот это:
2. Степени популярных чисел надо знать. В лицо! При наличии в примере разных чисел пытаемся найти «братьев по степени».
Так, кое-какая зацепочка уже появилась… 121 — это 11 в квадрате. Ещё можно расписать 125 как 5 в кубе и 9 как 3 в квадрате, но 5 и 3 — никакие не братья и не сёстры по степени. Пригодится или нет — пока непонятно, но к сведению примем. Поехали дальше.)
3. Любую степень можно записать множителем перед логарифмом. И наоборот — любой числовой коэффициент можно спрятать внутрь логарифма. Если он мешает, конечно.
Коэффициентов в нашем примере нет, логарифмы и так чистые. Отметаем этот совет. Что у нас там ещё припасено?
4. Всегда прикидываем, нельзя исходное выражение преобразовать под какую-нибудь готовую формулу?
Вот и прикидываем: на что похож внешний вид нашего примера? Ну же? Ну, конечно! На самую первую формулу — основное логарифмическое тождество! Единственная формула, где логарифм тусуется в показателе степени.
С ним мы пока что ни разу не работали. Что ж, поработаем! Попробуем преобразовать наш пример под эту формулу: других вариантов как-то выкрутиться у нас просто нет!
Но в формуле в показателе стоит один логарифм! А у нас — сумма. Что нам мешает сложить логарифмы по соответствующей формуле суммы? Основания мешают! Они… они — разные! Ну-ка, может, ещё не все практические советы у нас использованы? Вспоминаем:
5. При наличии дробей в примере, переходим от дробей к степеням с отрицательными показателями. При наличии корней переходим от корней к степеням с дробными показателями.
Так, ну дробей в нашем примере нету, это видно. А вот корень в основании — преобразуем. Вот так:
А во втором логарифме в основании тоже стоит 11, только в квадрате… Уже кое-какие проблески! Выпишу-ка я показатель отдельно, дабы не запутаться… С учётом наших размышлений.)
Уже лучше. Теперь выносим показатели степеней из оснований перед логарифмами (не забыть бы перевернуть…):
Великолепно! Основания логарифмов выровнялись! Только вот новая беда… Коэффициенты появились… Хотелось бы сложить логарифмы, ан нет, не канает… Так стоп! Чего же я туплю-то! Можно же их по другой формуле спрятать вовнутрь!
Ну вот. Уже идеально для формулы сложения! Только внутри логарифмов что-то несусветное стало твориться. Не беда, перейдём к маленьким числам: зря, что ли, мы 125 и 9 в виде степеней пятёрки и тройки расписывали?
Пока всё чин-чинарём. Теперь, по правилам действий со степенями, можно записать:
Вот, практически, и всё. Досчитываем наш показатель по формуле сложения логарифмов:
Пример становится всё лучше и лучше! Возвращаемся к нашему исходному примеру, вставляем в него наш преобразованный показатель и получаем ответ!
Йес!!! Ничего себе, примерчик, однако ж…”
Ответ: 75
Вот такой пример. Запутанный, да, я не спорю. И зачем я так детально его разобрал? С практическими советами, мыслями… Мог бы и в пару строк уложиться… Дело в том, что разбор одного конкретного примера — занятие бесполезное. Не попадётся он. А вот разъяснить на конкретном примере, как именно надо выкручиваться в любом (да-да, любом!) задании — совсем другое дело!
Главное в этом разборе — подход. Мы применяем весь наш арсенал инструментов к конкретному примеру. Пробуем поочерёдно все инструменты, как ключики к замку. Что-то срабатывает, а что-то нет. Это не страшно и не смертельно. Не подошло — пробуем что-то другое! Что-то обязательно подойдёт! Сложные и запутанные задания именно так и решаются. И никак иначе.)
Конечно, с опытом всё будет делаться гораздо короче и какие-то шаги будут в уме делаться и вообще пропускаться. За ненадобностью. Тут практика рулит. Тренироваться и решать надо. Используя изложенный здесь подход. И тогда всё получится. Обязательно!
Формула перехода к новому основанию. Немного приколов… И немного формул сокращённого умножения.
Поднимаемся ещё на ступень повыше. Запускаем теперь в дело самую последнюю формулу из нашего списка — это формула перехода к новому основанию. Вот она:
В чём суть этой формулы, когда она применяется и как именно она работает? Объясняю по пунктам.
Формула эта применяется, когда основания логарифмов — разные. Но не просто разные, а ещё и не родственные по степени! Которые друг в друга через простую степень не превращаются. Скажем, 2 и 3. Или 5 и 7. Заметьте, что нам уже встречались разные основания у логарифмов в одном и том же примере, но там или всё и так славненько срасталось, или переход был через степени. Например, если основания логарифмов 1/125 и 25, то можно догадаться, что это родня! По пятёрке. Ибо 1/125 = 5-3, а 25 = 52. Не так очевидно, конечно, но и мы уже всё-таки на серьёзном уровне с вами. А дальше дело техники: выносим показатели за логарифмы и — вперёд.
Но если основания не родственные, а без выравнивания оснований в примере никак, то выход только один — работать по этой формуле.
Запомнить её очень легко. По шагам:
1) Слева пишем логарифм, основание которого нам не нравится. Справа рисуем черту дроби.
2) В числитель пишем логарифм числа b, но уже по новому основанию k. Какому именно основанию? А какому угодно! В том-то весь и фокус! Естественно, тому, которое нам удобнее. Кроме единицы, разумеется.)
3) В знаменатель пишем логарифм старого основания a по тому же новому основанию k.
Обратите внимание на саму структуру формулы: слева в основании буквы k вообще нет! В этом-то и вся фишка! Это означает, что новому логарифму мы можем выбрать какое угодно основание. Обычно выбирают то, которое нам удобно в конкретном примере. Если, скажем, в примере куча логарифмов по основанию 3 и затесался один по основанию 7, то его и менять будем. На тройку.
А в знаменатель пишем логарифм старого основания. Так уже математика требует. В результате логарифм со старым основанием исчезает из примера. Вот и всё. Вот и вся суть формулы перехода. Ну что, посмотрим на формулу перехода в действии?
Пример 5
Вычислить:
Что тут можно увидеть? Ну, во-первых, разные основания. Причём не родственные: из четвёрки пятёрку простым возведением в степень никак не получить. Во-вторых, наблюдаем произведение логарифмов. Такой формулы в наших свойствах нету. Не путаем с логарифмом произведения! Или с суммой логарифмов… Что же делать? Первым делом перейдём к одному основанию. Что-то же делать всё равно надо! К какому основанию пойдём? Ну, ясное дело, что не к 30 или 1,234. У нас на выбор два варианта — либо к четвёрке, либо к пятёрке. В данном примере абсолютно без разницы, к чему переходить. Давайте к четвёрке пойдём: всё-таки число поменьше.) Итак, первый логарифм не трогаем (у него и так основание четыре), а вот второй логарифм превращаем по формуле перехода в дробь:
Всё. Логарифм по основанию 5 из примера благополучно исчез, и в основаниях остались только четвёрки. Вставляем полученную дробь в наш пример, упрощаем и считаем:
Ответ: 2
Вот так. Откуда же я узнал, что надо переходить к другому основанию? Ведь я мог и что-то ещё замутить. Скажем, log516 расписать как
log516 = log524 = 4log52
и дальше как-то ещё выкручиваться. Да. Можно. Но с богатым опытом приходит уже так называемое математическое чутьё на формулы и преобразования.) Когда в уме наперёд уже умеешь просчитывать, к чему может привести тот или иной манёвр и не идёшь по заведомо негодному пути.
Вот вам очередной практический совет на данную тему.
Если перед вами сложное логарифмическое выражение, в котором основания логарифмов разные, то первым делом пробуем сделать их одинаковыми. Или через степени или по формуле перехода. Очень часто этот манёвр срабатывает проясняет дальнейшую ситуацию.
А теперь рассмотрим один фокус на формулу перехода, который частенько любят проделывать составители примеров. По-другому эту фишку даже и не назовёшь. Настолько элементарна, а в тупик может поставить даже отличника!
Пример 6
Вычислить:
Основания уже одинаковые, но формулы деления логарифмов не существует, да… Можно, конечно, сообразить, что 125 = 53 и старым добрым способом, но что делать, если внутри логарифмов сидит что-нибудь более навороченное? Вот и впадают в ступор…
Здесь же достаточно всего лишь разглядеть формулу перехода к новому основанию. Вернее, не просто формулу, а её правую часть! И, если запустить эту формулу справа налево, то сразу получим:
И все дела! Да-да! Это ответ.)
Ответ: 3
Частенько эту фишку применяют с какими-нибудь совершенно дикими основаниями. На испуг берут, типа.) Как, например, вот такое задание:
Пример 7
Вычислить:
В основании число “пи”, как тут не испугаться… Однако, если догадаться, что наша ужасная дробь — всего лишь правая часть формулы перехода к новому основанию и сработать справа налево, то получим всего-навсего:
Вот и всё. И нету больше никакого “пи”.) А уж сложить парочку логарифмов с одинаковыми основаниями — пустяшное дело. Не пример, а одно удовольствие:
log1236 + log124 = log12144 = 2
Ответ: 2
Вот такой вот приёмчик. Теперь, надеюсь, не растеряетесь, в случае чего.)
Рассмотрим ещё одну распространённую фишку с формулой перехода. Вернее, её частный случай.
Что произойдёт, если за новое основание мы возьмём аргумент логарифма? Давайте посмотрим!
Во как! Оказывается, если поменять местами a и b, то наш новый логарифм станет всего лишь обратным к старому! Весьма и весьма полезная формулка. Имеет смысл запомнить.) Решим примерчик и на эту тему:
Пример 8
Вычислить:
Что делать будем? Скобки раскрывать? Можно, конечно, но пример явно намекает на более элегантное преобразование. Перейдём в логарифме по основанию 40 к основанию 2. Двойка чем-то привлекательнее, чем сорок, не находите?) Поскольку в аргументе логарифма стоит также двойка, то при переходе к основанию 2 достаточно просто перевернуть этот логарифм. И все дела.)
Получим:
И что дальше? Куда пристегнуть тройку? А дальше новый фокус! Дело всё в том, что мы не можем напрямую сложить логарифм и число. Но зато логарифмы между собой — запросто! Как выкрутимся? А сделаем-ка из тройки… логарифм! Да-да! Для этого сначала выберем ему основание. Вариантов выбора много, но я предлагаю выбрать 2. Думаю, возражений не будет?)
А дальше пишем вот такое простое равенство:
3 = log223
Всё легко и просто: тройка уходит показателем в степень нашего выбранного основания. Сама цепочка превращений выглядит вот так:
По этапам:
1) Вместо тройки пишем степень с выбранным основанием 2 и показателем, равным этой самой тройке.
2) Берём логарифм от этой степени по тому же самому основанию 2.
3) Всё!
Конечно, можно было бы и сразу тройку на логарифм заменить, благо здесь числа совсем простые, но лучше запомнить эту простую цепочку. А то придётся где-нибудь, к примеру, превращать в логарифм по основанию 11 число 1/7… А по цепочке всё совсем элементарно:
Просекли фишку? Тогда возвращаемся к нашим баранам и дорешиваем:
Ответ: 1
Да… Кто бы мог подумать.)
Конечно, в числовых выражениях этот приёмчик с превращением числа в логарифм достаточно экзотичен. Но вот в логарифмических уравнениях и неравенствах он применяется на полную катушку! Имейте его в виду.)
Заметьте, что обычно мы стараемся поступать наоборот – упрощать всякие ужасы типа дробей, корней, синусов да логарифмов. Доводить их, по возможности, до конечного числа. А тут — наоборот, из числа делаем логарифм. Что хотим, то и творим! Так что математика — на самом деле весьма и весьма творческая наука! Во многом даже искусство.)
Запоминаем:
При необходимости любое число можно превратить в логарифм по любому основанию (кроме единицы, конечно).
Осталось разобраться с совсем уж хардкорными примерами. Где и так пробуешь и сяк, но не упрощается он никак! На такие примеры есть своё особое секретное оружие.) Срабатывает безотказно. Если уметь грамотно им пользоваться, конечно. Как вам такой примерчик!
Пример 9
Вычислить:
За что зацепиться? Все основания уже одинаковые (семёрка), но это особо не спасает. Кстати, обращаю ваше внимание на весьма и весьма частый косяк. В числителе стоят квадраты логарифмов. Именно самих логарифмов, а не их аргументов! Это означает, что вынести двойки из логарифмов наружу мы не имеем права! Не там двойки стоят… Стало быть, уже привычных нам логарифмических формул, готовых к употреблению, нету. Что же делать?
Спокойно! Без паники! Никто и никогда не может гарантировать, что сразу влёт всё решится.) К сожалению…
Чтобы расправиться с этим злым примером, забудем на минутку про логарифмы и плавненько переместимся в седьмой класс. Формулы сокращённого умножения не забыли, надеюсь? А теперь внимательно присматриваемся к нашему примеру. Что ещё, кроме логарифмов, в нём можно увидеть? Разность… Разность ква… Ну, конечно! Разность квадратов! Такая родная и до боли знакомая формула:
a2–b2 = (a–b)(a+b)
Правда, в применении к логарифмам. Ну и что из этого? Ведь в формуле под буковками a и b может скрываться всё что угодно — и логарифмы, и синусы, и степени — любые выражения! Формула всё равно сработает!
Итак, заменяем наш числитель на произведение скобок по формуле разности квадратов:
Вот и всё встало на свои места! И все формулы заработали! Решать пример стало одно удовольствие.)
В первых скобках (разность) получается:
Во вторых скобках (сумма) будет:
Вставляем в пример наши промежуточные результаты, сокращаем и получаем:
Ответ: 1
Простенько и со вкусом.) Здесь-то всё ясно. Но в тревожной боевой обстановке ЕГЭ подобный пример может и в ступор вогнать. Дело всё в том, что большинство учеников подсознательно пытаются решить пример в том формате, в котором он задан. Например, если задан пример на логарифмы, то мы с головой погружены в логарифмы и варимся только в них, а вынырнуть на поверхность да оглядеться вокруг — не можем. С тригонометрией аналогично — решаем пример только в рамках тригонометрии. И, в случае чего, не можем напрячься и выскочить из этих жёстких рамок… А надо уметь! Хотя бы иногда.)
Посему очередной по счёту практический совет:
Замороченные примеры проверяем на алгебру седьмого класса — разложение на множители, формулы сокращённого умножения и т.п.
Ещё из той же оперы для самостоятельного решения:
lg24 + lg16·lg25 + lg225 =
Ответ: 4
Ну что, поздравляю! Вот мы и набрались достаточного количества знаний для уверенной работы с логарифмами практически на любом уровне сложности! Дальше путь только один — решать примеры! Как можно больше.) И особо рекомендую не пренебрегать зелёными советами. Они не зря даются в материале.) Их надо помнить и им надо следовать.) И тогда не логарифмы будут командовать вами, а вы — логарифмами.)
До встречи!
Числовые основы: введение и двоичные числа
Purplemath
Преобразование между различными системами счисления на самом деле довольно просто, но идея, лежащая в основе этого, поначалу может показаться немного запутанной. И хотя тема различных основ может показаться вам несколько бессмысленной, рост компьютеров и компьютерной графики увеличил потребность в знаниях о том, как работать с различными (недесятичными) базовыми системами, особенно с двоичными системами (с единицами и нулями) и шестнадцатеричная система (числа от нуля до девяти, за которыми следуют буквы от A до F).
MathHelp.com
В нашей обычной десятичной системе у нас есть цифры для чисел от нуля до девяти.У нас нет однозначного числа для «десяти». (Римляне использовали иероглиф «X».) Да, мы пишем «10», но это означает «1 десять и 0 единиц». Это две цифры; у нас нет единственной цифры, обозначающей «десять».
Вместо этого, когда нам нужно считать на единицу больше девяти, мы обнуляем столбец единиц и добавляем единицу к столбцу десятков. Когда мы становимся слишком большими в столбце десятков – когда нам нужно на один больше, чем девять десятков и девяти единиц (“99”), мы обнуляем столбцы десятков и единиц и добавляем единицу к десятикратным или сотням. , столбец.Следующий столбец – это столбец десять, десять, десять, или тысячи. И так далее, причем каждый столбец большего размера в десять раз больше предыдущего. Мы помещаем цифры в каждый столбец, сообщая нам, сколько копий этой степени десяти нам нужно.
Единственная причина, по которой математика с основанием десять кажется «естественной», а другие – нет, состоит в том, что вы использовали десятичный алгоритм с детства. И (почти) каждая цивилизация использовала математику по основанию десять, вероятно, по той простой причине, что у нас десять пальцев.Если бы вместо этого мы жили в мире мультфильмов, где у нас было бы только четыре пальца на каждой руке (сосчитайте их в следующий раз, когда вы смотрите телевизор или читаете комиксы), тогда «естественной» базовой системой, вероятно, была бы система с основанием восемь, или “восьмеричный”.
двоичный
Давайте посмотрим на числа с основанием два или двоичные числа. Как бы вы записали, например, 12 10 («двенадцать, основание десять») в виде двоичного числа? Вам нужно будет преобразовать в столбцы с основанием два, аналог столбцов с основанием десять.В десятичной системе счисления у вас есть столбцы или «места» для 10 0 = 1, 10 1 = 10, 10 2 = 100, 10 3 = 1000 и так далее. Точно так же в основании два у вас есть столбцы или «места» для 2 0 = 1, 2 1 = 2, 2 2 = 4, 2 3 = 8, 2 4 = 16 и т. Д. вперед.
Первый столбец в математике с основанием два – это столбец единиц. Но в столбце единиц может быть только «0» или «1». Когда вы дойдете до «два», вы обнаружите, что нет ни одной единственной цифры, которая обозначает «два» в математике с основанием два.Вместо этого вы помещаете «1» в столбец двоек и «0» в столбец единиц, указывая «1 два и 0 единиц». Десятичное число «два» (2 10 ) записывается в двоичном формате как 10 2 .
«Тройка» в основании два на самом деле означает «1, два и 1, один», поэтому записывается как 11 2 . «Четыре» на самом деле означает дважды два, поэтому мы обнуляем столбец двоек и столбец единиц и ставим «1» в столбец четверок; 4 10 записывается в двоичной форме как 100 2 . Вот список первых чисел:
Преобразование между двоичными и десятичными числами довольно просто, если вы помните, что каждая цифра в двоичном числе представляет собой степень двойки.
Преобразует 101100101
2 в соответствующее десятичное число.
Я перечислю цифры по порядку, так как они появляются в номере, который они мне дали. Затем в другом ряду я отсчитываю эти цифры от ПРАВА, начиная с нуля:
Первая строка выше (помеченная как «цифры») содержит цифры из двоичного числа; вторая строка (обозначенная как «нумерация») содержит степень двойки (основание), соответствующую каждой цифре.Я воспользуюсь этим списком, чтобы преобразовать каждую цифру в степень двойки, которую он представляет:
1 × 2 8 + 0 × 2 7 + 1 × 2 6 + 1 × 2 5 + 0 × 2 4 + 0 × 2 3 + 1 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0
= 1 × 256 + 0 × 128 + 1 × 64 + 1 × 32 + 0 × 16 + 0 × 8 + 1 × 4 + 0 × 2 + 1 × 1
= 256 + 64 + 32 + 4 + 1
= 357
Затем 101100101 2 преобразуется в 357 10 .
Преобразование десятичных чисел в двоичные почти так же просто: просто разделите на 2.
Преобразует 357
10 в соответствующее двоичное число.
Чтобы выполнить это преобразование, мне нужно несколько раз делить на 2, отслеживая остатки по ходу дела. Смотрите ниже:
Приведенный выше рисунок анимирован на «живой» веб-странице.
Как видите, после многократного деления на 2 я получил следующие остатки:
Эти остатки говорят мне, что такое двоичное число. Я читаю числа с внешней стороны деления, начиная сверху с конечного значения и его остатка, и заканчиваю свой путь вокруг и вниз по правой части последовательного деления. Тогда:
357 10 преобразуется в 101100101 2 .
Партнер
Этот метод преобразования работает для преобразования в любое недесятичное основание. Только не забудьте включить эту первую цифру вверху, перед списком остатков. Если вам интересно, объяснение того, почему этот метод работает, доступно здесь.
Вы можете преобразовать десятичную систему счисления в любую другую. Когда вы изучаете эту тему в классе, вы, вероятно, должны будете преобразовывать числа в различные другие основы, поэтому давайте рассмотрим еще несколько примеров …
URL: https://www.purplemath.com/modules/numbbase.htm
элементарной теории чисел – Какую основу лучше всего использовать?
Некоторое время назад я попытался выполнить некоторую арифметику с карандашом и бумагой по основанию 16 (извлечение квадратных корней), чтобы увидеть, на что это было похоже, и обнаружил, что это было сложно, в основном потому, что я не запомнил таблицу умножения по основанию 16. 2-3n + 2 \ bigr) $, поскольку $ 0 \ times n $ и $ 1 \ times n $ тривиальны, а $ m \ times n = n \ times m $.Это быстро увеличивается с $ n $: в системе счисления 10 у вас есть 36 произведений, которые нужно запомнить; в базе 16 их 105. Для базы 4 вам нужно только запомнить $ 2 \ times 2 = 10, 2 \ times 3 = 12, $ и $ 3 \ times 3 = 21 $.
Я не пробовал ни одного из обычных методов для ускорения умножения на бумаге и карандаше, таких как кости Напьера или линейки Genaille-Lucas. Но я не думаю, что это поможет. Если у вас нет таблицы умножения, вы теряете чувство численности, которое, вероятно, считаете само собой разумеющимся.Например, вы не можете оценить ответ на задачи деления. Алгоритм извлечения квадратного корня требует, чтобы вы угадывали ответ на множество подзадач типа «Сколько раз 2D, 409
входит в 1C0,000
?» и в то время как это легко сделать с основанием 10, потому что у вас есть годы практики (сколько $ 1,835,000 \ div 185,353 $ с точностью до одного десятичного знака?), это сложно в системе с основанием 16. Поэтому важно знать таблицы умножения, а в системе счисления 16 есть нужно много знать.
Я нашел это упражнение очень полезным и рекомендую его.По крайней мере, может быть интересно заново испытать чувства, которых у вас не было с третьего класса.
Преобразование в основание 8 и обратно не так уж и удачно, но таблицу умножения не так уж сложно запомнить. Тем не менее, я считаю, что преимущество перед базами 4 или 16 минимально, если они вообще существуют. Я думаю, что наихудшим выбором для карандашных вычислений было бы большое простое число, так как нет простого преобразования в меньшее основание, как при переходе от оснований 8 или 16 к основанию 4.
Разумеется, требуемые для компьютерных вычислений совершенно другие, и для вычислений на счетах опять же другие.Что касается компьютеров, я встречал утверждения, что основание 3 в некотором смысле является оптимальным, но я думаю, что 70 лет инженерной практики полностью опровергают это. В определенном смысле современные компьютеры работают не с базой 2, а с базой 256, но это кажется чем-то вроде философского вопроса; это зависит от того, на какой уровень работы вы смотрите.
Возможности карьерного роста для математических специальностей
Куда идут наши специальности
- Примерно 35% недавних выпускников сразу же поступают в аспирантуру, бизнес или медицинский институт.
- Сюда входят студенты, получающие докторскую степень по математике, прикладной математике или биостастике. За последние 2 года студенты уехали, например, в Мичиган, Калифорнийский университет в Санта-Барбаре, Нью-Йоркский университет, Нью-Йорк и Макгилл.
- Наши студенты-преподаватели обычно направляются прямо к магистратуре образования, часто оставаясь в Университете Массачусетса или в пределах штата.
- Многие студенты получают степень магистра в области науки о данных. Выпускник 2018 года только что получил степень магистра в Гарварде в этой области.
- Другие студенты решают получить степень магистра компьютерных наук или прикладной математики.
- Интересный пример – выпускник 2017 года, получающий степень магистра музейного дела в Вашингтонском университете.
- Лучшие работодатели наших крупных компаний за последние годы включают Liberty Mutual, MassMutual, Hanover Insurance, Amazon, Aetna, State Streeet и Ernst & Young.
- Интересный пример и, вероятно, наш самый высокооплачиваемый недавний майор, – это Энди Изабелла, который был выбран во втором раунде драфта НФЛ в 2019 году и играет за Arizona Cardinals.
Каждый семестр на кафедре проводятся карьерные мероприятия для студентов математических специальностей.
- Осень 2019: Мелисса Кэмпбелл, выпускница 2018 года, посетила нас из Optum, подразделения United Health Care. Мелисса поделилась своим опытом работы программистом на Python и инженером-программистом.
- Весна 2020:
- Энтони Рентш, выпускник 2018 года, посетил его в феврале и рассказал о своей дипломной работе в области науки о данных в Гарварде и о том, как войти в область науки о данных. Будучи студентом, Энтони защитил свою старшую диссертацию по применению статистических методов в политологии, свою вторую специальность.
- Emily Dwizil ’19, присоединившаяся к нам в апреле Zoom, рассказала о своем опыте работы младшим специалистом по данным в MassMutual.
- Луис Серрано, кандидат математических наук, работающий руководителем отдела искусственного интеллекта в Udacity, присоединится к нам в компании Zoom и расскажет о машинном обучении и возможностях для крупных отраслевых специалистов.
Потенциальным работодателям крупных компаний
Чтобы связаться с нашими студентами, есть два способа: вы можете отправить электронное письмо старшему советнику по программе бакалавриата или опубликовать свою вакансию в Handshake.Первые сразу охватят все математические специальности, а вторые – всех студентов, когда они начнут поиск работы и стажировки.
КарьераВсе студенты должны присоединиться к программе Handshake, которая содержит возможности трудоустройства и стажировки для студентов и выпускников UMass.
Карьерные услуги для математических специальностей в настоящее время предоставляются в основном на уровне колледжа (CNS). См. Веб-страницу службы карьеры CNS. Студенты могут записаться на прием к профессиональным консультантам с помощью SSC или зайти на встречу с коллегами-консультантами.Особый интерес на веб-странице представляют новые инструменты, которые помогут вам отточить свои навыки собеседования. Посмотрите информацию о стажировках, связанных с CNS, которые они публикуют на своей веб-странице.
Central Career Services по-прежнему располагает множеством инструментов и ресурсов для помощи студентам в поиске карьеры. Компания Career Services, расположенная по адресу 511 Goodell, предлагает консультации по составлению резюме и прохождению собеседований, координирует ярмарки вакансий и собеседования на кампусе, а также ведет обширные списки вакансий и рекламы для всех областей и специальностей через платформу Handshake.
Общие рекомендации для всех направлений карьеры
За последние полвека значение математики для нашего общества резко возросло. Потребность в подготовленных математиках на всех уровнях растет, поскольку компьютеры и автоматизация распространились почти на все секторы нашей экономики. В настоящее время технологические, инженерные и бизнес-задачи часто настолько сложны, что требуют высокого уровня математической обработки. В то время как в прошлом передовая математика в основном ограничивалась физическими науками и инженерией, сегодня существует постоянно растущий спрос на математические знания в биологических и социальных науках, а также в финансах и управлении бизнесом, а также в развивающейся области науки о данных.
Каждый студент должен внимательно рассмотреть следующие пять пунктов при выборе курса обучения в бакалавриате.
Сбалансированный набор основных курсов по математике и статистике.
Конечно, многие из этих курсов будут определяться основной концентрацией, которая, в свою очередь, зависит от предполагаемого карьерного роста. Но каждый студент должен быть уверен, что выберет хороший баланс курсов. В частности, должно быть какое-то сочетание математики со статистикой, а также теоретических и чистых курсов с прикладными.Такой баланс действительно важен для тех студентов, которые будут работать в неакадемическом мире, и для студентов, которые намереваются пройти междисциплинарное обучение в аспирантуре. Даже учащиеся, которые планируют поступить в аспирантуру по математике или статистике или будут обучаться, чтобы стать учителями средней школы, должны убедиться, что у них достаточно знаний на уровне бакалавриата, чтобы в полной мере использовать свои последующие занятия.
Обширное знакомство с вычислениями.
Одна из основных причин того, что математика и статистика имеют такое значение в современном мире, заключается в том, что они так тесно связаны с вычислениями всех видов. Практически в каждой профессии, основанной на математических или статистических знаниях, вычисления играют ключевую роль. По этой причине студенты должны пройти достаточное количество курсов по информатике, научным вычислениям или информационным технологиям, чтобы получить опыт работы с вычислительными методами и платформами.
Некоторые последовательные исследования в другой смежной области.
Крайне желательно, чтобы учащийся развил базу знаний в другой области, связанной с математикой или статистикой. Например, успешная карьера может быть построена на специальности математика вместе с второстепенным в области информатики, финансов, экономики, физики, химии, биологии, общественного здравоохранения или инженерной отрасли. Если несовершеннолетний неосуществим, то рекомендуется пройти несколько связанных курсов, которые дополняют учебу по основному направлению.
Набор «мягких» навыков.
Математика и статистика – «точные» науки в том смысле, что их предмет является техническим и абстрактным. Следовательно, их полезность и актуальность для мира во многом зависит от того, насколько хорошо математики и статистики относятся к своим коллегам и коллегам. Работодатели часто говорят о том, что их техническому персоналу абсолютно необходимо иметь возможность общаться в письменной и устной форме, продуктивно взаимодействовать в командах и группах, а также быть усердными, разносторонними и новаторскими.Эти человеческие навыки одинаково необходимы в педагогических профессиях. Хороший выбор общеобразовательных курсов и других факультативов – один из способов развития этих навыков, равно как и самостоятельные исследования и проекты, внеклассные мероприятия и даже хобби.
Стажировка, кооператив или летний исследовательский опыт.
Один из лучших способов найти хорошую работу по окончании учебы – это заранее пройти стажировку или совместную работу. Работодателям нравится иметь возможность увидеть студента в реальной рабочей среде, и студент извлекает выгоду, пробуя тот вид работы, который предлагает работодатель.Студентам, рассматривающим возможность обучения в аспирантуре, очень желательно подать заявку на летний исследовательский опыт для студентов (REU) либо в вашем родном университете, либо в других местах в стране. См. Ссылки на этой странице на офисы университетов в кампусе, которые координируют стажировки и кооперации, а также на NSF, NSA и другие агентства, которые предлагают летние исследования.
Общие направления карьеры для специальностей математики и статистики
В ходе учебы в бакалавриате у каждого студента естественным образом разовьются определенные предпочтения в различных подполях математики или статистики, и эти интересы в значительной степени будут определять выбор студентом концентрации в рамках основной специальности.Еще один элемент в этом выборе – диапазон возможностей, которые дает концентрация для дальнейшей карьеры. Хотя не существует фиксированного списка профессий, вытекающих из математики или статистики, наиболее распространенные карьерные пути выпускников делятся на несколько широких категорий. Департамент разработал концентрации (и требования к курсу для каждой концентрации), чтобы помочь студентам подготовиться к карьере в одной из этих основных категорий.
Здесь в неупорядоченном списке приведены некоторые из основных категорий карьеры:
- Актуарные науки.
- Наука о данных.
- Информационные технологии и вычисления.
- Бизнес, менеджмент, консалтинг.
- Преподавание в начальной или средней школе.
- Аспирантура по математике или статистике, особенно для академической карьеры.
- Аспирантура по прикладной математике или статистике для работы в промышленности, бизнесе или правительстве.
- Аспирантура в междисциплинарной области, связанной с математическими и статистическими науками.
Веб-ссылки О карьере
Различные национальные организации в области математических наук предлагают информацию и другие веб-ссылки о карьере.
На многих из этих веб-сайтов собраны отзывы математиков и статистиков, которые сделали успешную карьеру в самых разных областях. Студентам предлагается изучить эти сайты и прочитать профессиональные советы, предлагаемые этими экспертами.
Особые рекомендации в рамках профессиональных категорий
Актуарные науки
Актуарии – это руководители предприятий, которые используют математические и статистические навыки для определения, анализа и решения сложных проблем, возникающих в страховой и пенсионной областях.Они создают программы и управляют ими, чтобы уменьшить финансовые последствия таких событий, как болезнь, несчастные случаи, безработица или преждевременная смерть. Актуарии должны понимать всю деятельность страховой и пенсионной сфер, потому что их оценки часто влияют на политику и практику компании. Помимо хорошего управления финансовыми рынками, налогового и страхового законодательства, нормативных требований, бухгалтерского учета и т. Д. Актуарий должен иметь солидный опыт в прикладной математике и статистике.
Профессиональный статус достигается за счет членства в одном из двух актуарных обществ (CAS или SOA).Стипендия зарабатывается, и большая часть теоретической подготовки предоставляется путем сдачи серии строгих экзаменов, спонсируемых обществами. См. Страницу нашей ведомственной актуарной программы.
Наука о данных
За последние несколько лет область науки о данных резко выросла. Мейджоры, сдавшие Stat 525 (линейная регрессия) и владеющие SAS, R или Python, особенно хорошо подготовлены, чтобы воспользоваться этими возможностями. Студентам предлагается повысить свою квалификацию в области науки о данных, сочетая статистические курсовые работы на нашем факультете с науками о данных или курсовыми работами по машинному обучению в области компьютерных наук, биостатики или лингвистики.На следующем сайте есть обширная информация о науке о данных: Masters in Data Science. Центр обработки данных MassMutual в центре Амхерста становится жизненно важным игроком в обучении наших студентов и обеспечении их работой. Пожилым людям рекомендуется подавать заявки на участие в Программе развития науки о данных MassMutual.
Информационные технологии и вычисления
Специалист по математике может начать карьеру в обширном мире информационных технологий и вычислительных услуг при условии, что основная учеба дополняется достаточной подготовкой в области информатики.Как правило, такая специализация также завершает второстепенную или, возможно, двойную специализацию по информатике. Некоторые из наиболее математически сложных частей ИТ связаны с криптографией, анимацией и графикой. Есть также много должностей в качестве программистов приложений, то есть компьютерных программистов, которые адаптируют алгоритмы к конкретным потребностям клиентов и компаний. Другие занятия в этой области включают управление сетями, веб-разработку, системы безопасности и мобильные вычисления.
Успешное завершение специализации по математике и дополнительной по информатике также является хорошей подготовкой к поступлению в аспирантуру по информатике.Степень магистра в этой области информатики полезна для некоторых из более сложных и инновационных возможностей. Дополнительную информацию можно получить в Ассоциации вычислительной техники:
https://jobs.acm.org/
Бизнес, менеджмент и консалтинг
Растет спрос на математиков и статистиков во многих областях бизнеса. Помимо четко определенного карьерного пути в актуарной науке, существуют также разнообразные возможности в области управления производством, прогнозирования и финансового моделирования.Например, специальность по математике, включающая статистику, дополненная второстепенным курсом по информатике и курсам экономики, бухгалтерского учета, финансов или промышленной инженерии, обеспечит прочную основу для деловой карьеры.
Почти все должности в этом широком диапазоне профессий рекламируются с заголовками, в которых нет слов «математик» или даже «статистик». Обычно это должности каких-то «аналитиков». В последние годы открываются новые возможности в области количественного финансового анализа, причем специалистов-практиков называют «квантами».«Эта работа посвящена анализу фондового рынка, управлению рисками, производным финансовым инструментам и связанным с ними продуктам. Несмотря на то, что для входа в эту область достаточно степени бакалавра, существует также большой спрос на сотрудников с более высоким уровнем подготовки. Например, есть много ученых со степенью магистра. Программа по финансовой математике, и доктора математических наук часто работают в этой области. Некоторые из многих ресурсов в Интернете включают:
http://www.quantnet.com/
http: // www.Quantfinancejobs.com/
https://www.cfainstitute.org
Навыки решения проблем и критического мышления, которыми обладают специалисты по математике и статистике, делают их очень желанными кандидатами на должности в консалтинговых фирмах. Эти должности доступны со степенью бакалавра, но они требуют быстрого и умелого ума, сочетающего количественные знания с деловой хваткой и отличными коммуникативными навыками. Поиск в Интернете по запросу «количественный консалтинг» открывает многочисленные возможности в этом направлении.
Специалист по математике, желающий подготовиться к карьере в государственном учреждении, преуспеет, если сосредоточится на статистике и прикладной математике и завершит второстепенный курс по информатике.
Преподавание в начальной или средней школе
Существует постоянный спрос на квалифицированных учителей математики в средних школах страны. Помимо обучения по основной специальности будущие учителя должны также пройти государственные аттестационные требования. Большая часть информации здесь предназначена для учащихся, желающих преподавать в средних школах.Учащиеся, желающие преподавать в начальной школе, сдают «Математику для учителей начальной школы I и II» (математика 113 и 114). Школьные округа по всей стране все больше нуждаются в специалистах по математике в начальных школах. Математикам, заинтересованным в начальном образовании, следует рассмотреть возможность такого карьерного роста. Учащимся также предлагается изучить преподавание математики в средней школе, где очень высок спрос на математические специальности.
Специалисты по математике, желающие получить средний эквивалент сертификата Массачусетса для преподавания математики в средней или старшей школе, должны:
- включают курсы, которые удовлетворяют требованиям Стандарта I Содружества по предметным знаниям;
- закончили программу среднего педагогического образования педагогической школы;
- набрать проходной балл по обоим разделам Сертификационного экзамена для преподавателей штата Массачусетс (MECT).
Любой учащийся, который хочет стать учителем математики в средней или старшей школе, должен обратиться в Программу подготовки учителей средней школы. Программа включает обучение студентов, которое требует полного семестра, в течение которого нельзя посещать обычные курсы. По этой причине эти студенты должны спланировать выполнение большинства своих требований до начала обучения, поскольку у них будет на один семестр меньше, чтобы удовлетворить требованиям факультета, колледжа и университета.
Стандарт I предметных знаний Содружества по математике гласит: «Эффективный учитель математики выполнил требования колледжа или университета по специальности математика или эквивалент, продемонстрировав знание: математики, в том числе: алгебры, геометрии, аналитической геометрии. , тригонометрия, исчисление, теория чисел, вероятность и статистика, а также история математики; как использовать компьютеры в математике; способы исследования и методы исследования в математике; отношения между математикой и другими областями знаний.«
Концентрация преподавателя предназначена для того, чтобы помочь студенту выполнить эти требования. Дополнительная информация доступна по адресу
http://www.math.umass.edu/undergraduate/departmental-graduation-requirements
Следующие курсы могут быть использованы для удовлетворения требований Содружества:
- алгебра, аналитическая геометрия, тригонометрия, исчисление: Математика 233
- геометрия: математика 461, математика 563
- теория чисел: Математика 471
- Вероятность и статистика: Stat 501, Stat 515
- история математики: математика 475
- дискретная математика: математика 455
- абстрактная алгебра: математика 411 или математика 490A
- как использовать компьютеры в математике: Math 471 (Math 551 также является опцией)
- формы запроса и методы исследования: Math 300, Math 411, Math 456, Math 523
- отношения между математикой и другими областями: Физика 151-153 или 171-173, Математика 331, Математика 456, Математика 532, Математика 534, Математика 545.
Департамент математики и статистики находится в процессе разработки курсов, специально предназначенных для будущих учителей средней математики, особенно в свете Общих государственных стандартов по математике (http://www.corestandards.org) и в свете Рекомендации The Education of Mathematics Teachers I and II , Conference Board of the Mathematical Sciences, опубликованные Американским математическим обществом, 2001 и 2012 гг. (доступно по адресу http: // cbmsweb.org / MET_Document /). Например, на экспериментальной основе мы предлагаем математические знания Math 597T для преподавания I. Студентам, интересующимся преподавательской деятельностью, предлагается пройти этот курс.
Для завершения программы средней школы образования для будущих учителей математики средней и старшей школы требуются следующие курсы: Студенты могут записаться на курсы (1) – (3) до подачи заявления в STEP; чтобы записаться на (4) – (7) студент должен уже быть в STEP.
- Educ 524: Работа учителя средней и старшей школы
- Психология 305: Психология образования, Психология 355: Психология подростков или образование 693I: Психология в классе
- Educ 497I: Репетиторство в школе (или альтернативный вариант курса)
- Educ 592S: Подготовительный курс
- Educ 511: Преподавание математики в средней и старшей школе
- Educ 510: Учитель в классе и Educ 615J: Образование и закон (Принято во время преподавания учащимися)
- Educ 500M (503): обучение студентов (5–9) или Educ 500S (504): обучение студентов (9–12) или оба варианта для сертификации 5–12.
Некоторые веб-страницы, связанные с обучением:
- Учите для Америки: www.teachforamerica.org
- Математика для Америки: www.mathforamerica.org
- Сайт, связанный с сертификатами преподавания и преподавательскими степенями: MathTeaching.org
Аспирантура
Существует три основных варианта обучения в аспирантуре после получения степени бакалавра по математике или статистике. Студентам рекомендуется проконсультироваться с профессорско-преподавательским составом факультета по поводу этих вариантов, а также характеристик конкретных программ для выпускников по всей стране.
Традиционная программа аспирантуры математического или статистического факультета.
В каждом крупном исследовательском университете есть аспирантура по математике, и большинство из них в основном ориентированы на докторскую степень. Многие университеты имеют отдельные кафедры и доктора философии. программы в области статистики, биостатистики и смежных количественных областях. Докторанты этих программ находят работу либо в академических учреждениях, либо продолжают карьеру в правительстве, бизнесе или промышленности.
В США около 1500 колледжей и университетов, которые стремятся заполнить свои преподавательские должности кандидатами с докторской степенью. Эти должности включают в себя сочетание преподавательской, исследовательской и служебной ответственности. Конкретное сочетание этих видов деятельности зависит от типа академического учреждения (исследовательский университет, гуманитарный колледж и т. Д.). Этот рынок труда, как правило, довольно узок, и существует сильная конкуренция за самые желанные возможности. Те, кто поступает в аспирантуру, намереваясь преподавать на уровне колледжа, должны стремиться получить широкую основу как по теоретическим, так и по прикладным предметам в этой области, а также иметь некоторый опыт общения по предмету.
Профессиональная магистерская программа по прикладной математике или статистике.
Альтернативой традиционной аспирантуре, ориентированной на докторантуру, является окончательная магистерская программа, которая сейчас доступна во все большем числе университетов. Эти программы, как правило, относятся либо к прикладной математике, либо к статистике. Обычно они присуждают степень магистра после двух лет обучения. По окончании учебы студенты получают право занимать конкурентоспособные должности в промышленности, бизнесе или правительстве.Такую программу также можно использовать в качестве моста для студента, который намеревается получить степень доктора философии. по математике или статистике, доктор философии. в области, отличной от математики и статистики, или междисциплинарного доктора философии. Одна из самых продолжительных программ магистратуры по прикладной математике находится здесь, в Массачусетском университете в Амхерсте; см. http://www.math.umass.edu/Grad/appliedms.html. Кроме того, наш факультет предлагает степень магистра с опцией статистики; см. http://www.math.umass.edu/Grad/Stat/stat.html.
Выпускная программа в междисциплинарной области, связанной с математикой или статистикой.
Еще один путь – поступить в аспирантуру в области, связанной с математикой или статистикой. Студенты, идущие по этому пути, пройдут широкую программу на уровне бакалавриата, вероятно, получив второстепенное или двойное образование в другой области. Примеры включают физику, информатику, инженерию, математические финансы, биостатистику, биоинформатику, математическую биологию или исследования операций.Кроме того, можно получить профессиональную степень в области права или медицины после получения степени бакалавра в области математики или статистики.
Талантливым студентам, которые намерены продолжить обучение в аспирантуре, также следует рассмотреть возможность участия в программе с отличием по математике. Кроме того, аспирантура открыта для студентов с согласия преподавателя, а специалисты по специальности могут пожелать записаться на начальные курсы для аспирантов, особенно на уровне 600.
Офисы университетов, которые помогают с поисками карьеры и другим опытом
Университет предлагает широкую помощь студентам, которые стремятся найти хорошую работу после окончания учебы или получить ценный опыт во время учебы в школе.Вот список основных офисов на территории кампуса для этой цели. Департамент координирует работу с этими программами в масштабах кампуса, чтобы спонсировать семинары или неформальные встречи, специально предназначенные для специальностей математики и статистики. Каждой специальности предлагается изучить ресурсы, предоставляемые этими университетскими офисами.
Карьерные программы для выпускников, Ассоциация выпускников, Мемориальный зал, 134 Hicks Way
В офисе выпускников также есть карьерная программа. В частности, они облегчают связи между нынешними студентами и выпускниками, которые работают.Программа «Minuteman Mentors» позволяет студенту связаться с зарегистрированными выпускниками, которые работают в сфере интересов студента, с целью консультации и общего совета о возможностях трудоустройства в этой области. Это отличный сетевой ресурс.
Отдел исследований и исследований бакалавриата, 1004 Библиотека W. E. B. Du Bois
Этот офис предлагает информацию о возможностях обучения студентов в кампусе и за его пределами, таких как REU и стажировки. Кроме того, он помогает студентам подать заявку на получение этого опыта.
номерных баз | Математика | Вычислительная техника
Существует более простое объяснение основ счисления, наряду с интерактивными страницами. на двоичных, двоичных дробях, нормализованных двоичных числах с плавающей запятой и шестнадцатеричный в Интерактивный раздел . Существует также система счисления Abacus , которую вы можете использовать для экспериментов с различными системами счисления, и вы можете смотрите видеоролики по базам номеров на YouTube-канале AdvancedICT . Для большинства курсов по компьютерным наукам GCSE требуется преобразование между основами счисления.
Что такое система счисления?
Немецкий математик Леопольд Кронекер однажды сказал, что «Бог дал нам целые числа, а все остальное – дело рук человека». Я думаю, что он имел в виду, что числа существуют, но мы можем выбирать их по-разному и делать с ними разные вещи. Не вдаваясь в философские размышления, полезно помнить, что часто то, что мы думаем о числах, на самом деле являются символами, представляющими число – точно так же, как вы пишете свое имя, это не вы, и вы все равно тот же человек, если набираете ваше имя, напишите его другим цветом или используйте другой алфавит.
Числовые базы – это разные способы написания и использования одного и того же числа. Для нашей арифметики мы используем систему, называемую десятичной системой, или десятичной, но оснований счисления почти столько же, сколько и чисел. Многие думают, что мы используем основание 10, потому что у нас есть 10 пальцев, по которым мы можем считать. Компьютеры и другие электронные устройства могут надежно использовать только электрический ток или его отсутствие для счета (например, имея два пальца), и поэтому они, как правило, используют основание 2 (двоичное) для внутренних целей.
Важно помнить, что числовые базы – это просто разные способы записи чисел – точно так же, как римские цифры или счетные таблицы – но в остальном числа ведут себя как обычно. Это не означает, что их арифметика принципиально отличается – на самом деле, способ, которым ведут себя системы счисления, полностью согласован.
Как они работают?
Вы будете знакомы с идеей базы 10 и заголовками столбцов, о которых вы говорили в начальной школе – единицы, десятки, сотни, тысячи и т. Д.- точно так же работают и другие числовые базы. У них есть столбцы с заголовками, которые используются для представления чисел, а разные цифры размещаются в разных местах, начиная с правого.
Заголовки столбцов для общих оснований и общего основания x показаны в таблице ниже:
Заголовки столбцов | Номер База | |||||||
128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 | 2 (двоичный) |
и т.п. | 262144 | 32768 | 4096 | 512 | 64 | 8 | 1 | 8 (восьмеричный) |
и т. Д. | 100000 | 10000 | 1000 | 100 | 10 | 1 | 10 (денар) | |
и т. Д. | 65536 | 4096 | 256 | 16 | 1 | 16 (шестнадцатеричный) | ||
и т. Д. | Х 6 | Х 5 | Х 4 | Х 3 | Х 2 | Х 1 | Х 0 | Х |
Основание обычно записывается как нижний индекс после числа, поэтому вы можете сказать, что 111 2 – это 7 в двоичной системе, а не сто одиннадцать.
Вы можете работать с любой числовой базой (кроме 1, что на самом деле не имеет смысла), и некоторые языки программирования, такие как Lisp, позволяют вам это делать.Однако в вычислениях вы обычно сталкиваетесь только со следующими четырьмя базами, и вы уже знаете базу 10. Эти общие базы также имеют имена собственные, указанные в скобках:
с основанием 2 (двоичный)
основание 8 (восьмеричное)
база 10 (денар)
с основанием 16 (шестнадцатеричный)
Самая большая цифра, которая может быть в любом столбце, – это на единицу меньше номера основания. Таким образом, для двоичного кода (основание 2) это 1, затем 7 для восьмеричного (основание 8), 9 для денарного (основание 10) и т. Д.
Однако после основания 10 у нас заканчиваются цифры для представления чисел, поэтому мы должны использовать буквы, где A = 10, B = 11, C = 12 и т. Д. Таким образом, последовательность для чисел, записанных в шестнадцатеричном формате, равна 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, за которыми следуют 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 1A, 1B, 1C, 1D, 1E, 1F и т. Д.
Когда мы пишем число по основанию 10, мы знаем его значение, потому что умножаем отдельные цифры на соответствующие им заголовки столбцов. Например, когда мы видим 123, даже если мы не думаем об этом, мы вычисляем 1 x 100 + 2 x 10 + 3 x 1, чтобы получить сто двадцать три.Остальные числовые базы работают точно так же.
Вы можете использовать эту информацию, чтобы преобразовать числа из других оснований в основание 10, например:
32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 | |
1 | 0 | 1 | 1 2 | = 8 + 2 + 1 = 11 10 |
32768 | 512 | 64 | 8 | 1 | |
1 | 2 | 3 | 4 8 | = 1 x 512 + 2 x 64 + 3 x 8 + 4 x 1 10 = 512 + 128 + 24 + 4 10 = 668 10 |
Двоичный (База 2)
Вероятно, в наши дни вы, вероятно, не часто сталкиваетесь с двоичными файлами, но полезно понимать, что именно так работают компьютеры внутри, чтобы вы могли понять такие концепции, как параллельная передача.Тот факт, что компьютеры используют двоичный код, является причиной того, что все кратно 2 – почему компьютеры поставляются с 8 МБ, 16 МБ, 32 МБ, 64 МБ и т. Д. Памяти, а не 10, 20, 30 Мб и т. Д., А также почему их 1024 байт в килобайте (1024 = 2 10 ), а не 1000 байт.
Его основное использование, вероятно, заключается в сочетании с методами поразрядной логики, показанными на предыдущей странице, для объединения и разделения значений, хранящихся в одном байте (или слове).
Есть еще несколько терминов, относящихся к двоичным файлам, которые вам необходимо знать.Во-первых, бит – это двоичная цифра , то есть единственное вхождение 0 или 1. Это наименьшая единица хранения, которую вы можете иметь внутри компьютера. Группы из 8 бит называются байтами . Байт может использоваться для представления числа, цвета или символа (например, с использованием ASCII). Вы также можете услышать термин полубайт , что составляет 4 бита. Наконец, слово – это наибольшее количество бит, которое процессор может обработать за один раз – например, когда мы говорим, что новые компьютеры имеют 64-битные процессоры, мы имеем в виду, что длина слова составляет 64 бита или 8 байтов. .
Наибольшее значение, которое вы можете сохранить, используя определенное количество битов, можно определить довольно легко. Используя n бит, наибольшее значение, которое вы можете сохранить, составляет 2 n – 1 , а количество различных значений, которые вы можете сохранить, составляет 2 n (от 1 до 2 n – 1 , а затем и 0). Таким образом, используя 8 бит, наибольшее число, которое вы можете сохранить, будет 2 8 – 1 = 255, а количество возможных значений – 2 8 = 256 (т.е.е. 0 – 255). Таким образом, 32-разрядный компьютер может обрабатывать значения до 4 194 967 296 за один такт – очевидно, он может справиться с большими числами, но сначала необходимо их разделить.
Восьмеричный (база 8)
Я никогда не встречал ничего, что использует восьмеричное! Я думаю, что он, вероятно, включен в спецификации экзамена по чисто академическим причинам и потому, что его легко преобразовать в двоичный (см. Ниже).
Шестнадцатеричный (основание 16)
Шестнадцатеричный формат по-прежнему используется довольно часто, особенно для таких вещей, как цвета в HTML или языках программирования.Это также весьма полезно, потому что представления больших чисел относительно компактны, но легко конвертируются в двоичные, чтобы вы могли видеть битовые шаблоны.
Переключающие биты
Вы, несомненно, заметили, что с числами с основанием 10 вы можете перемещать цифры влево или вправо на одно место, умножая или деля число на 10. Тот же трюк работает с разными основами чисел – вы просто умножаете и делите на основание число (например, умножьте на 2 в двоичном формате, чтобы сдвинуть биты влево на одно место).
Это может быть полезно для таких вещей, как создание шестнадцатеричных значений цвета (например, для веб-страниц). В 24-битной системе (такой как HTML) цвета представлены 24-битными числами от 000000 до FFFFFF (каждая шестнадцатеричная цифра соответствует 4 битам – см. Ниже). 24 бита состоят из 8 бит, каждый для количества красного, зеленого и синего цвета.
Итак, каждый компонент представлен 8 битами, то есть числом от 0 до 255. Если вы знаете, сколько красного, зеленого и синего вы хотите, как вы объедините их, чтобы найти полный цвет? Для HTML правильный порядок битов – RRGGBB (r = красный, g = зеленый, b = синий), поэтому нам нужно «сдвинуть» значения зеленого и красного компонентов, а затем сложить все три компонента вместе. .
Мы можем оставить синее значение как есть, но нам нужно переместить зеленое значение на два места. Чтобы переместиться на одно место в шестнадцатеричном формате, мы умножаем его на 16, поэтому, чтобы переместиться на два места, просто сделайте это дважды – 16 x 16 = 256 – поэтому умножьте зеленое значение на 256. Для красного значения нам нужно переместить четыре позиции – 16 x 16 x 16 x 16 = 65 536 – поэтому мы умножаем значение красного компонента на 65 536.
Очевидно, что если бы вы просто пытались определить цвет самостоятельно, вам не нужно было бы проходить эти шаги, но если бы вы создали программу, подобную моему цветовому микшеру, то вы бы сделали это именно так.
Преобразование между базами
Вы можете преобразовать восьмеричное в двоичное и наоборот, сгруппировав эти двоичные цифры (или биты) в тройки, а затем преобразовав их в их двоичные эквиваленты. Например:
Что такое 101100 2 в восьмеричном формате?
101 2 = 5 10 100 2 = 4 10 | Просто объедините две цифры: 101100 2 = 54 8 |
То же самое можно сделать и для шестнадцатеричного числа, только биты должны быть сгруппированы по четверкам, т.е.грамм.
Что такое 10110110 2 в шестнадцатеричной системе счисления?
1011 2 = 11 10 = B 16 0110 2 = 6 10 | Просто объедините два результата: 10110110 2 = B6 16 |
Наконец, шутка о цифрах! Почему программисты путают Рождество с Хэллоуином? Потому что 31 OCT = 25 DEC!
Что такое система счисления по основанию 10?
Если вы когда-либо считали от 0 до 9, значит, вы использовали основание-10, даже не зная, что это такое.Проще говоря, счисление по основанию 10 – это способ присвоения числовым значениям разрядных значений. Иногда ее называют десятичной системой, потому что значение цифры в числе определяется ее положением относительно десятичной точки.
Силы 10
В системе base-10 каждая цифра числа может иметь целочисленное значение от 0 до 9 (10 возможных вариантов) в зависимости от ее положения. Места или позиции чисел основаны на степени 10. Каждая числовая позиция в 10 раз больше значения справа от нее, отсюда и термин основание-10.Превышение числа 9 в позиции инициирует отсчет в следующей наивысшей позиции.
Цифры больше 1 появляются слева от десятичной точки и имеют следующие разрядные значения:
- Единицы
- Десятки
- Сот
- тыс.
- Десятки тысяч
- Сотни тысяч и так далее
Справа от десятичной точки отображаются значения, составляющие долю или меньше 1:
- Десятые
- сотых
- тысячных
- Десятитысячные
- Стотысячные и так далее
Каждое действительное число может быть выражено в десятичной системе счисления.Каждое рациональное число, знаменатель которого состоит только из 2 и / или 5 в качестве простых множителей, можно записать как десятичную дробь. Такая дробь имеет конечное десятичное разложение. Иррациональные числа могут быть выражены как уникальные десятичные числа, в которых последовательность не повторяется и не заканчивается, например π. Начальные нули не влияют на число, хотя конечные нули могут иметь значение при измерениях.
Использование Base-10
Давайте посмотрим на пример большого числа и воспользуемся основанием 10 для определения разрядного значения каждой цифры.Например, если использовать целое число 987 654 125, положение каждой цифры будет следующим:
- 9 имеет номинальную стоимость 900 000
- 8 имеет значение 80 000
- 7 имеет значение 7000
- 6 имеет значение 600
- 5 имеет значение 50
- 4 имеет значение 4
- 1 имеет значение 1/10
- 2 имеет значение 2/100
- 5 имеет значение 5/1000-е
Происхождение Base-10
База-10 используется в большинстве современных цивилизаций и была наиболее распространенной системой для древних цивилизаций, скорее всего, потому, что у людей 10 пальцев.Египетские иероглифы, датируемые 3000 годом до нашей эры. показать свидетельство десятичной системы. Эта система была передана Греции, хотя греки и римляне также обычно использовали base-5. Десятичные дроби впервые стали использоваться в Китае в I веке до нашей эры.
Некоторые другие цивилизации использовали другие системы счисления. Например, майя использовали основание 20, возможно, из-за счета пальцев рук и ног. В калифорнийском языке юки используется восьмеричная система счисления (восьмеричная), при которой считаются промежутки между пальцами, а не цифры.
Другие системы счисления
Базовые вычисления основаны на двоичной системе счисления или системе счисления с основанием 2, в которой всего две цифры: 0 и 1. Программисты и математики также используют систему счисления с основанием 16 или шестнадцатеричную систему, которая, как вы, вероятно, догадались, имеет 16 различных цифровых символов. . Компьютеры также используют основание 10 для выполнения арифметических операций. Это важно, поскольку позволяет производить точные вычисления, что невозможно при использовании дробных двоичных представлений.
Что вы можете делать со степенью математика?
Что такое математика?
В системах образования по всему миру, от начальных до высших учебных заведений, существует один постоянный предмет, язык, на котором говорят во всем мире: математика.
Основное определение математики (или математики, или математики, в зависимости от того, в какой точке мира вы находитесь) состоит в том, что это образование в области числовых наук с использованием ряда различных подходов, включая алгебру, исчисление и базовую арифметику. В то время как математика является ключевым элементом различных предметов, от экономики до физики, математика как университетский предмет часто фокусируется на понимании и проверке теорий в математическом и научном дискурсе или так называемой «чистой математике».
Математики могут как прийти к пониманию строительных блоков Вселенной в таких областях, как квантовая механика, так и получить образование в увлекательных теоремах и абстрактных концепциях, которые обучают студентов ряду применимых навыков, которые можно передавать другим профессионалам. поля.
Лучшие университеты мира по физике, химии и математике
Лучшие университеты по физике, химии и математике в Канаде
Что вы изучаете по математике?
В рамках диплома по математике студент может рассчитывать найти более высокий уровень контактных часов в первый год обучения, поскольку преподаватели работают со студентами, чтобы обеспечить понимание основных модулей и концепций, обсуждаемых на лекциях и семинарах.
Типичный курс для первого курса бакалавриата представляет собой введение в абстрактную алгебру, а также в такие области, как нелинейные дифференциальные уравнения. В более поздние годы обучения на степень будет больше свободы, поскольку студенты будут выбирать из более широкого набора модулей и более глубоко изучать области математики, которые им нравятся.
Дипломы по математике все чаще основываются на цифровых технологиях и связаны с информатикой через такие модули, как символьные вычисления и автоматическое доказательство теорем.
Математика также является идеальным предметом для совместных занятий, поскольку ее преподавание может стать основой для изучения, в частности, информатики, инженерии и статистики. Для курса бакалавриата типичная продолжительность курса составляет три года, хотя в образовательных системах, таких как Соединенные Штаты, это может быть четыре года, или если курс включает год обучения за границей или стажировку по сэндвич-работе.
Что мне следует изучать, если я хочу изучать математику?
Математика не является предметом, в который можно просто попасть, и будет преподаваться при условии, что учащиеся будут иметь конкретное понимание основных понятий математики и прикладной математики до начала курса.
Университеты обычно принимают студентов, которые хорошо успели по математике в школе и получили дальнейшее образование перед подачей заявления. Университеты будут проверять способности по смежным школьным предметам, таким как традиционные науки (например, химия).
Также важно не упускать из виду языковые навыки и навыки письма, так как многие курсы будут включать в себя длительные задания на сочинение.
Другие тематические руководства
Что можно делать со степенью искусства?
Чем можно заниматься со степенью архитектора?
Что вы можете делать со степенью ветеринарных наук?
Что можно делать со степенью биологии?
Что вы можете делать со степенью в области спорта?
Что вы можете делать со степенью врача?
Что можно сделать со степенью дизайнера?
Что вы можете делать со степенью исполнительского искусства?
Чем можно заниматься со степенью в сфере бизнеса?
Чем занимаются люди, изучающие математику после выпуска?
В то время как выпускник математики может посвятить свою карьеру изучению и обучению других теоретических математических знаний, квалификация по этому предмету также может открыть двери в широкий спектр профессиональных областей.
Работодатели ценят навыки анализа данных и новаторское, оригинальное мышление, которому можно научить на математике. Выпускники математики идеально подходят для работы в финансовом секторе, например, на должности инвестиционного аналитика или налогового консультанта.
На такой должности, как актуарий или дипломированный бухгалтер, степень по математике – это только первый шаг, поскольку для получения квалификации по этим профессиям требуются годы дальнейшего обучения и экзаменов.
Математика также является предметом, тесно связанным со статистическим анализом.Это открывает возможности для трудоустройства в социальных исследованиях, таких как сбор данных опросов и опросов, а также в научных исследованиях в таких областях, как география и медицинская статистика. Хотя эта работа может быть источником постоянной занятости после получения степени бакалавра, многие институты также предлагают постдокторские должности в качестве научного сотрудника или эквивалентного сотрудника.
Существует также четкий путь от навыков работы с компьютером, полученных на математике, до карьеры, основанной на ИТ или разработке программного обеспечения.Многие программисты видеоигр имеют математическое образование, сочетая творческий подход с техническими способностями для разработки продуктов в одной из самых быстрорастущих отраслей сегодня. Агентства безопасности также будут нанимать команду обученных математиков, которые будут использовать одни из самых мощных компьютеров в мире для разработки криптографии и интернет-безопасности.
Студенческий опыт изучения математики
Калифорнийский технологический институт: «уникально трудное, но прекрасное место для учебы»
Меньше – не значит меньше возможностей
Известные люди, изучавшие математику
Среди самых известных людей, когда-либо получивших математическую степень, является Альберт Эйнштейн, который в возрасте 17 лет уже учился по программе преподавания математики в Цюрихском политехническом институте.
Среди многих других выдающихся пионеров математики – Эмми Нётер, которая изучила этот предмет в Университете Эрлангена и внесла значительный вклад в физику и абстрактную алгебру.
Диплом по математике также может стать трамплином к предпринимательскому успеху, например, Сергей Брин, который учился в Университете Мэриленда, прежде чем стал соучредителем Google, и Рид Хастингс, соучредитель Netflix, имеющий степень бакалавра математики в Стэнфордском университете.
Среди других известных математиков модель Синди Кроуфорд, которая изучала этот предмет в Северо-Западном университете, а также бывший профессиональный рестлер и звезда The A Team, Mr.T, получил специальность по этому предмету в университете Prairie View A&M.
Подробнее: Лучшие университеты по физике, химии и математике степени
Базовые математические навыки: определение, примеры и способы их улучшения
Математические навыки являются важной частью повседневной жизни, от расчета финансовых операций до измерения пространств и предметов. Улучшение ваших базовых математических навыков может помочь вам получить работу, добиться более высоких результатов на нынешней должности и упростить управление личной жизнью.В этой статье мы обсуждаем основные математические навыки, как их можно улучшить и как знание того, какие навыки у вас есть, может улучшить ваш поиск работы.
Что такое базовые математические навыки?
Базовые математические навыки – это навыки, связанные с вычислением сумм, размеров или других измерений. Эти навыки состоят из основных понятий, таких как сложение и вычитание, а также немного более сложных понятий, основанных на них. Хорошее владение основными математическими навыками поможет вам не только на рабочем месте, но и в повседневной жизни.
Примеры базовых математических навыков
Ниже приведены некоторые базовые математические навыки, которые вы, вероятно, будете использовать в повседневной жизни и на работе:
Сложение, вычитание, умножение и деление
Эти четыре операции являются основой все математические задачи. Чтобы делать что-либо, связанное с математикой, вам нужно будет уметь в уме складывать, вычитать, умножать и делить основные числа. С большими числами вы должны быть уверены, что пользуетесь калькулятором, чтобы вычислить ответ.
Проценты
Процент – это часть целого на 100. Проценты вам понадобятся для таких задач, как определение размера оставленных чаевых, расчет налога с продаж или принятие решения о сокращении численности персонала.
Дроби и десятичные дроби
Дроби – это часть целого числа, а десятичная дробь – это числовое представление этой дроби. Например, один доллар можно разделить на четыре четверти (дробь) или 25 центов.Умение складывать, вычитать, умножать и делить дроби – важный математический навык, которым вы захотите овладеть.
Визуальное представление данных
Часто числа будут представлены в более наглядных форматах. Базовый математический навык, который необходимо изучить, – это читать и понимать диаграммы и графики. Возможность считывать оси, линию тренда и точки данных поможет вам глубже понять основные данные. Это также поможет вам создавать свои собственные графики и диаграммы, чтобы лучше проиллюстрировать свои взгляды.
Решение для неизвестной
Решение для неизвестной переменной – это основная задача алгебры. Например, Хуану нужно заработать 600 долларов в этом месяце и зарабатывать 20 долларов каждый раз, когда он выгуливает собаку для одного из своих соседей. Неизвестный Хуан хотел бы решить, сколько прогулок с собакой ему нужно будет пройти, чтобы заработать требуемую сумму. Обладая базовыми навыками алгебры, Хуан сможет создать простую формулу для этого уравнения (20x = 600) и найти неизвестную переменную.
Связано: Типы графиков и диаграмм
Как улучшить базовые математические навыки
Есть четыре основных способа улучшить свои базовые математические навыки:
1.Используйте рабочие тетради
Рабочие тетради по математике содержат множество примеров задач, которые вы можете решить, чтобы попрактиковаться. Они также обычно предоставляют некоторые инструкции и советы о том, как решить проблему, а также ответы в конце книги, чтобы вы могли проверить, были ли вы правы. Если в математике есть какая-то конкретная тема, которую вы считаете сложной, поищите учебное пособие по математике, в котором основное внимание уделяется этой теме.
2. Пройдите курс
Многие общественные колледжи предлагают уроки базовой математики, или вы можете узнать, есть ли рядом с вами другие классы обучения взрослых.Другой вариант – найти в Интернете базовый курс математики и пройти его дома. Уроки математики дают преимущество в виде более подробных инструкций и возможности задавать вопросы, если вы не уверены в какой-либо теме.
3. Обратиться за помощью
Если вы знаете кого-то, у кого есть сильные математические навыки, вы можете попросить его о помощи. Сообщите им, какие области вы считаете сложными, и посоветуйтесь с ними. Друзья, члены семьи и коллеги могут по-новому взглянуть или, возможно, объяснить вещи в более понятных терминах, что поможет вам лучше понять тему.
Вы также можете нанять репетитора, который уделит вам индивидуальное внимание, лично или онлайн. Затем этот наставник может предоставить вам примеры задач, которые помогут укрепить ваши навыки, или ответит на любые конкретные вопросы, которые могут у вас возникнуть.
4. Практика
Лучший способ улучшить свои базовые математические навыки – это просто практика. Последовательное использование своих навыков может гарантировать, что вы сохраните свои профессиональные навыки. Старайтесь не использовать калькулятор для решения каждой проблемы, с которой вы сталкиваетесь, и не просите кого-то сделать что-то за вас.Используйте любую возможность, чтобы применить свои базовые математические навыки, и со временем они станут сильнее.
Связано: План непрерывного улучшения рабочего места: определение, методы и примеры
Базовые математические навыки на рабочем месте
Вот лишь несколько примеров того, как вам может потребоваться использовать базовые математические навыки на рабочем месте:
Расчет налогов
Налоги тесно связаны с ведением бизнеса.Вам нужно будет выяснить налог с продаж, ваш подоходный налог, налоги на имущество и многое другое. Хотя существуют инструменты, которые помогут вам рассчитать различные налоги, знание того, как рассчитать эти цифры самостоятельно, поможет вам лучше понять финансовую ситуацию.
Проведение презентаций
Бизнес-лидеры любят принимать решения на основе данных. Если вы делаете презентацию в рамках своего бизнеса, вам нужно будет подкрепить свои утверждения фактами и цифрами. Вместо того, чтобы просто отображать числа, вы захотите использовать различные графики, диаграммы и диаграммы.Знать, как их составлять, и читать их, когда другие представляют их, является обычным требованием на рабочем месте.
Расчет нашей зарплаты и прибавок
Как частное лицо, вы, вероятно, озабочены тем, сколько денег вы зарабатываете. Если компания заявляет, что будет платить вам 60 000 долларов в год, вы захотите узнать много нового, что будете приносить домой каждую неделю. Вы также захотите узнать свою новую зарплату, если компания предложит вам повышение на 10 процентов. Возможность подсчитать наиболее важные для вас числа поможет вам принимать более правильные решения о том, где работать и сколько вы можете позволить себе потратить в своей личной жизни.
Расчет оценок времени
Например, у вас есть проект, который состоит из 10 равных частей. Вы завершили три из этих частей, и это заняло девять дней. Когда ваш менеджер спросит, сколько времени займет оставшаяся часть проекта, вы можете использовать базовые математические навыки, чтобы дать ему хорошую оценку трех недель. Соблюдение расписания – важная обязанность любого на рабочем месте, и вы можете использовать свои базовые математические навыки, чтобы лучше спланировать свое расписание.
Как выделить базовые математические навыки
Есть несколько способов подчеркнуть свои знания математики:
В своем резюме
Чтобы выделить свои базовые математические навыки в резюме, вы должны дать реальный мир Примеры. Например, если вы кассир, вместо того, чтобы сказать, что вы хорошо умеете складывать и вычитать, вы можете сказать что-то вроде:
- «Умею быстро вычислить сдачу, которую клиент должен в моей голове».
Вы также можете указать свои базовые математические навыки при описании своих должностных обязанностей.Например, маркетинговый аналитик может написать:
- Создал четкую визуализацию данных для демонстрации эффективности различных маркетинговых кампаний.
Цель состоит в том, чтобы подчеркнуть использование вами базовых математических навыков, а не прямо заявить о них. Вы можете сделать это в любом разделе, например, о вашем опыте работы, специальных навыках или даже в сопроводительном письме.
Связано: Лучшие рабочие навыки, чтобы ваше резюме выделялось
На собеседовании
Во время собеседования вас могут попросить продемонстрировать некоторые из ваших основных математических навыков.